Theorem sge0pnfval 46617

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnfval.pnf	⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

Proof of Theorem sge0pnfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	sge0vald 46613	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
4		sge0pnfval.pnf	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	4	iftrued 4487	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = +∞)
6	3, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  supcsup 9343  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  [,]cicc 13264  Σcsu 15609  Σ^{^}csumge0 46606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-seq 13925  df-sum 15610  df-sumge0 46607

This theorem is referenced by:  sge0sn  46623  sge0tsms  46624  sge0cl  46625  sge0f1o  46626  sge0rern  46632  sge0supre  46633  sge0sup  46635  sge0pr  46638  sge0le  46651  sge0split  46653  sge0iunmpt  46662  sge0pnfmpt  46689