Theorem sge0pnfval 46388

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnfval.pnf	⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

Proof of Theorem sge0pnfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	sge0vald 46384	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
4		sge0pnfval.pnf	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	4	iftrued 4533	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = +∞)
6	3, 5	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  Σ^{^}csumge0 46377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-seq 14043  df-sum 15723  df-sumge0 46378

This theorem is referenced by:  sge0sn  46394  sge0tsms  46395  sge0cl  46396  sge0f1o  46397  sge0rern  46403  sge0supre  46404  sge0sup  46406  sge0pr  46409  sge0le  46422  sge0split  46424  sge0iunmpt  46433  sge0pnfmpt  46460