Theorem sge0pnfval 47656

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnfval.pnf	⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

Proof of Theorem sge0pnfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	sge0vald 47652	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
4		sge0pnfval.pnf	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	4	iftrued 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = +∞)
6	3, 5	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  supcsup 9469  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  [,]cicc 13519  Σcsu 15897  Σ^{^}csumge0 47645

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-seq 14185  df-sum 15898  df-sumge0 47646

This theorem is used by:  sge0sn  47662  sge0tsms  47663  sge0cl  47664  sge0f1o  47665  sge0rern  47671  sge0supre  47672  sge0sup  47674  sge0pr  47677  sge0le  47690  sge0split  47692  sge0iunmpt  47701  sge0pnfmpt  47728