Theorem fiinfnf1o 14390

Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfnf1o	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fiinfnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6854	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
2		fofi 9352	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ Fin))
4	1, 3	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ Fin))
5	4	exlimdv 1932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ Fin))
6	5	con3dimp 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  –onto→wfo 6558  –1-1-onto→wf1o 6559  Fincfn 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990

This theorem is referenced by:  hasheqf1oi  14391