MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinfnf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinfnf1o 13704
Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fiinfnf1o ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fiinfnf1o
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6603 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2 fofi 8794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
32ex 416 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
41, 3syl5 34 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
54exlimdv 1935 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
65con3dimp 412 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wex 1781  wcel 2115  ontowfo 6334  1-1-ontowf1o 6335  Fincfn 8492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-om 7564  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-fin 8496
This theorem is referenced by:  hasheqf1oi  13706
  Copyright terms: Public domain W3C validator