MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinfnf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinfnf1o 14256
Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fiinfnf1o ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fiinfnf1o
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6792 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2 fofi 9285 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
32ex 414 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
41, 3syl5 34 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
54exlimdv 1937 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin))
65con3dimp 410 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  ontowfo 6495  1-1-ontowf1o 6496  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  hasheqf1oi  14257
  Copyright terms: Public domain W3C validator