Theorem fofi 9253

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 600	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  –onto→wfo 6515   ≼ cdom 8921  Fincfn 8923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-om 7843  df-1o 8432  df-en 8924  df-dom 8925  df-fin 8927

This theorem is referenced by:  f1fi  9254  imafi  9255  f1opwfi  9296  indexfi  9300  intrnfi  9359  infpwfien  10015  ttukeylem6  10468  fseqsupcl  13987  fiinfnf1o  14360  vdwlem6  17005  0ram2  17040  0ramcl  17042  mplsubrglem  22035  tgcmp  23441  hauscmplem  23446  1stcfb  23485  comppfsc  23572  1stckgenlem  23593  ptcnplem  23661  txtube  23680  txcmplem1  23681  tmdgsum2  24136  tsmsf1o  24185  tsmsxplem1  24193  ovolicc2lem4  25562  i1fadd  25737  i1fmul  25738  itg1addlem4  25741  i1fmulc  25745  mbfi1fseqlem4  25760  limciun  25936  edgusgrnbfin  29520  fsupprnfi  32844  erdszelem2  35506  mvrsfpw  35820  itg2addnclem2  38135  istotbnd3  38234  sstotbnd  38238  prdsbnd  38256  cntotbnd  38259  heiborlem1  38274  heibor  38284  lmhmfgima  43625