MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fofi 8798
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 8785 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2 domfi 8727 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
31, 2syldan 591 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  ontowfo 6346  cdom 8495  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  f1fi  8799  imafi  8805  f1opwfi  8816  indexfi  8820  intrnfi  8868  infpwfien  9476  ttukeylem6  9924  fseqsupcl  13333  fiinfnf1o  13698  vdwlem6  16310  0ram2  16345  0ramcl  16347  mplsubrglem  20147  tgcmp  21937  hauscmplem  21942  1stcfb  21981  comppfsc  22068  1stckgenlem  22089  ptcnplem  22157  txtube  22176  txcmplem1  22177  tmdgsum2  22632  tsmsf1o  22680  tsmsxplem1  22688  ovolicc2lem4  24048  i1fadd  24223  i1fmul  24224  itg1addlem4  24227  i1fmulc  24231  mbfi1fseqlem4  24246  limciun  24419  edgusgrnbfin  27082  erdszelem2  32336  mvrsfpw  32650  itg2addnclem2  34825  istotbnd3  34930  sstotbnd  34934  prdsbnd  34952  cntotbnd  34955  heiborlem1  34970  heibor  34980  lmhmfgima  39562
  Copyright terms: Public domain W3C validator