Theorem fofi 9216

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  –onto→wfo 6490   ≼ cdom 8884  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  f1fi  9217  imafi  9218  f1opwfi  9259  indexfi  9263  intrnfi  9322  infpwfien  9975  ttukeylem6  10427  fseqsupcl  13930  fiinfnf1o  14303  vdwlem6  16948  0ram2  16983  0ramcl  16985  mplsubrglem  21992  tgcmp  23376  hauscmplem  23381  1stcfb  23420  comppfsc  23507  1stckgenlem  23528  ptcnplem  23596  txtube  23615  txcmplem1  23616  tmdgsum2  24071  tsmsf1o  24120  tsmsxplem1  24128  ovolicc2lem4  25497  i1fadd  25672  i1fmul  25673  itg1addlem4  25676  i1fmulc  25680  mbfi1fseqlem4  25695  limciun  25871  edgusgrnbfin  29456  fsupprnfi  32780  erdszelem2  35390  mvrsfpw  35704  itg2addnclem2  38007  istotbnd3  38106  sstotbnd  38110  prdsbnd  38128  cntotbnd  38131  heiborlem1  38146  heibor  38156  lmhmfgima  43530