Theorem fofi 9364

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9351	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  –onto→wfo 6547   ≼ cdom 8962  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  f1fi  9365  imafiALT  9371  f1opwfi  9382  indexfi  9386  intrnfi  9441  infpwfien  10087  ttukeylem6  10539  fseqsupcl  13978  fiinfnf1o  14345  vdwlem6  16958  0ram2  16993  0ramcl  16995  mplsubrglem  21966  tgcmp  23349  hauscmplem  23354  1stcfb  23393  comppfsc  23480  1stckgenlem  23501  ptcnplem  23569  txtube  23588  txcmplem1  23589  tmdgsum2  24044  tsmsf1o  24093  tsmsxplem1  24101  ovolicc2lem4  25493  i1fadd  25668  i1fmul  25669  itg1addlem4  25672  itg1addlem4OLD  25673  i1fmulc  25677  mbfi1fseqlem4  25692  limciun  25867  edgusgrnbfin  29258  fsupprnfi  32554  erdszelem2  34933  mvrsfpw  35247  itg2addnclem2  37276  istotbnd3  37375  sstotbnd  37379  prdsbnd  37397  cntotbnd  37400  heiborlem1  37415  heibor  37425  lmhmfgima  42650