Theorem fofi 9308

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 603	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  –onto→wfo 6536   ≼ cdom 8974  Fincfn 8976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8479  df-en 8977  df-dom 8978  df-fin 8980

This theorem is used by:  f1fi  9309  imafi  9310  f1opwfi  9348  indexfi  9352  intrnfi  9411  infpwfien  10144  ttukeylem6  10595  fseqsupcl  14123  fiinfnf1o  14497  vdwlem6  17169  0ram2  17204  0ramcl  17206  mplsubrglem  22316  tgcmp  23724  hauscmplem  23729  1stcfb  23768  comppfsc  23856  1stckgenlem  23877  ptcnplem  23945  txtube  23964  txcmplem1  23965  tmdgsum2  24420  tsmsf1o  24469  tsmsxplem1  24477  ovolicc2lem4  25846  i1fadd  26021  i1fmul  26022  itg1addlem4  26025  i1fmulc  26029  mbfi1fseqlem4  26044  limciun  26219  edgusgrnbfin  29959  fsupprnfi  33332  erdszelem2  36043  mvrsfpw  36357  itg2addnclem2  38683  istotbnd3  38798  sstotbnd  38802  prdsbnd  38820  cntotbnd  38823  heiborlem1  38838  heibor  38848  lmhmfgima  44179