Theorem fofi 9289

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 603	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  –onto→wfo 6529   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-1o 8460  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961

This theorem is used by:  f1fi  9290  imafi  9291  f1opwfi  9329  indexfi  9333  intrnfi  9392  infpwfien  10122  ttukeylem6  10573  fseqsupcl  14100  fiinfnf1o  14474  vdwlem6  17144  0ram2  17179  0ramcl  17181  mplsubrglem  22291  tgcmp  23699  hauscmplem  23704  1stcfb  23743  comppfsc  23831  1stckgenlem  23852  ptcnplem  23920  txtube  23939  txcmplem1  23940  tmdgsum2  24395  tsmsf1o  24444  tsmsxplem1  24452  ovolicc2lem4  25821  i1fadd  25996  i1fmul  25997  itg1addlem4  26000  i1fmulc  26004  mbfi1fseqlem4  26019  limciun  26194  edgusgrnbfin  29936  fsupprnfi  33267  erdszelem2  35926  mvrsfpw  36240  itg2addnclem2  38558  istotbnd3  38673  sstotbnd  38677  prdsbnd  38695  cntotbnd  38698  heiborlem1  38713  heibor  38723  lmhmfgima  44044