Theorem fofi 9262

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  –onto→wfo 6509   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  f1fi  9263  imafi  9264  f1opwfi  9307  indexfi  9311  intrnfi  9367  infpwfien  10015  ttukeylem6  10467  fseqsupcl  13942  fiinfnf1o  14315  vdwlem6  16957  0ram2  16992  0ramcl  16994  mplsubrglem  21913  tgcmp  23288  hauscmplem  23293  1stcfb  23332  comppfsc  23419  1stckgenlem  23440  ptcnplem  23508  txtube  23527  txcmplem1  23528  tmdgsum2  23983  tsmsf1o  24032  tsmsxplem1  24040  ovolicc2lem4  25421  i1fadd  25596  i1fmul  25597  itg1addlem4  25600  i1fmulc  25604  mbfi1fseqlem4  25619  limciun  25795  edgusgrnbfin  29300  fsupprnfi  32615  erdszelem2  35179  mvrsfpw  35493  itg2addnclem2  37666  istotbnd3  37765  sstotbnd  37769  prdsbnd  37787  cntotbnd  37790  heiborlem1  37805  heibor  37815  lmhmfgima  43073