Theorem fofi 9081

Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9068	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 8955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  –onto→wfo 6429   ≼ cdom 8712  Fincfn 8714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-om 7705  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-fin 8718

This theorem is referenced by:  f1fi  9082  imafiALT  9088  f1opwfi  9099  indexfi  9103  intrnfi  9151  infpwfien  9817  ttukeylem6  10269  fseqsupcl  13693  fiinfnf1o  14060  vdwlem6  16683  0ram2  16718  0ramcl  16720  mplsubrglem  21206  tgcmp  22548  hauscmplem  22553  1stcfb  22592  comppfsc  22679  1stckgenlem  22700  ptcnplem  22768  txtube  22787  txcmplem1  22788  tmdgsum2  23243  tsmsf1o  23292  tsmsxplem1  23300  ovolicc2lem4  24680  i1fadd  24855  i1fmul  24856  itg1addlem4  24859  itg1addlem4OLD  24860  i1fmulc  24864  mbfi1fseqlem4  24879  limciun  25054  edgusgrnbfin  27736  fsupprnfi  31020  erdszelem2  33148  mvrsfpw  33462  itg2addnclem2  35823  istotbnd3  35923  sstotbnd  35927  prdsbnd  35945  cntotbnd  35948  heiborlem1  35963  heibor  35973  lmhmfgima  40904