Theorem fofi 9035

Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 8935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  –onto→wfo 6416   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  f1fi  9036  imafiALT  9042  f1opwfi  9053  indexfi  9057  intrnfi  9105  infpwfien  9749  ttukeylem6  10201  fseqsupcl  13625  fiinfnf1o  13992  vdwlem6  16615  0ram2  16650  0ramcl  16652  mplsubrglem  21120  tgcmp  22460  hauscmplem  22465  1stcfb  22504  comppfsc  22591  1stckgenlem  22612  ptcnplem  22680  txtube  22699  txcmplem1  22700  tmdgsum2  23155  tsmsf1o  23204  tsmsxplem1  23212  ovolicc2lem4  24589  i1fadd  24764  i1fmul  24765  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  i1fmulc  24773  mbfi1fseqlem4  24788  limciun  24963  edgusgrnbfin  27643  fsupprnfi  30928  erdszelem2  33054  mvrsfpw  33368  itg2addnclem2  35756  istotbnd3  35856  sstotbnd  35860  prdsbnd  35878  cntotbnd  35881  heiborlem1  35896  heibor  35906  lmhmfgima  40825