Theorem fofi 9220

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  –onto→wfo 6490   ≼ cdom 8888  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7814  df-1o 8402  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894

This theorem is referenced by:  f1fi  9221  imafi  9222  f1opwfi  9263  indexfi  9267  intrnfi  9326  infpwfien  9982  ttukeylem6  10434  fseqsupcl  13937  fiinfnf1o  14310  vdwlem6  16955  0ram2  16990  0ramcl  16992  mplsubrglem  21985  tgcmp  23391  hauscmplem  23396  1stcfb  23435  comppfsc  23522  1stckgenlem  23543  ptcnplem  23611  txtube  23630  txcmplem1  23631  tmdgsum2  24086  tsmsf1o  24135  tsmsxplem1  24143  ovolicc2lem4  25512  i1fadd  25687  i1fmul  25688  itg1addlem4  25691  i1fmulc  25695  mbfi1fseqlem4  25710  limciun  25886  edgusgrnbfin  29467  fsupprnfi  32791  erdszelem2  35427  mvrsfpw  35741  itg2addnclem2  38046  istotbnd3  38145  sstotbnd  38149  prdsbnd  38167  cntotbnd  38170  heiborlem1  38185  heibor  38195  lmhmfgima  43536