Theorem fofi 9105

Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9092	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 8975	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  –onto→wfo 6431   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  f1fi  9106  imafiALT  9112  f1opwfi  9123  indexfi  9127  intrnfi  9175  infpwfien  9818  ttukeylem6  10270  fseqsupcl  13697  fiinfnf1o  14064  vdwlem6  16687  0ram2  16722  0ramcl  16724  mplsubrglem  21210  tgcmp  22552  hauscmplem  22557  1stcfb  22596  comppfsc  22683  1stckgenlem  22704  ptcnplem  22772  txtube  22791  txcmplem1  22792  tmdgsum2  23247  tsmsf1o  23296  tsmsxplem1  23304  ovolicc2lem4  24684  i1fadd  24859  i1fmul  24860  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  i1fmulc  24868  mbfi1fseqlem4  24883  limciun  25058  edgusgrnbfin  27740  fsupprnfi  31026  erdszelem2  33154  mvrsfpw  33468  itg2addnclem2  35829  istotbnd3  35929  sstotbnd  35933  prdsbnd  35951  cntotbnd  35954  heiborlem1  35969  heibor  35979  lmhmfgima  40909