MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fofi 8786
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 8773 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2 domfi 8715 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
31, 2syldan 593 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114   class class class wbr 5040  ontowfo 6327  cdom 8483  Fincfn 8485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-om 7557  df-1o 8078  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-fin 8489
This theorem is referenced by:  f1fi  8787  imafi  8793  f1opwfi  8804  indexfi  8808  intrnfi  8856  infpwfien  9464  ttukeylem6  9912  fseqsupcl  13327  fiinfnf1o  13693  vdwlem6  16298  0ram2  16333  0ramcl  16335  mplsubrglem  20192  tgcmp  21982  hauscmplem  21987  1stcfb  22026  comppfsc  22113  1stckgenlem  22134  ptcnplem  22202  txtube  22221  txcmplem1  22222  tmdgsum2  22677  tsmsf1o  22726  tsmsxplem1  22734  ovolicc2lem4  24100  i1fadd  24275  i1fmul  24276  itg1addlem4  24279  i1fmulc  24283  mbfi1fseqlem4  24298  limciun  24473  edgusgrnbfin  27139  erdszelem2  32444  mvrsfpw  32758  itg2addnclem2  34982  istotbnd3  35082  sstotbnd  35086  prdsbnd  35104  cntotbnd  35107  heiborlem1  35122  heibor  35132  lmhmfgima  39808
  Copyright terms: Public domain W3C validator