Theorem fofi 9333

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9332	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 603	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ⟶ontowfo 6556   ≼ cdom 8999  Fincfn 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005

This theorem is used by:  f1fi  9334  imafi  9335  f1opwfi  9373  indexfi  9377  intrnfi  9435  infpwfien  10168  ttukeylem6  10619  fseqsupcl  14147  fiinfnf1o  14521  vdwlem6  17193  0ram2  17228  0ramcl  17230  mplsubrglem  22341  tgcmp  23749  hauscmplem  23754  1stcfb  23793  comppfsc  23881  1stckgenlem  23902  ptcnplem  23970  txtube  23989  txcmplem1  23990  tmdgsum2  24445  tsmsf1o  24494  tsmsxplem1  24502  ovolicc2lem4  25871  i1fadd  26046  i1fmul  26047  itg1addlem4  26050  i1fmulc  26054  mbfi1fseqlem4  26069  limciun  26244  edgusgrnbfin  29984  fsupprnfi  33356  erdszelem2  36124  mvrsfpw  36438  itg2addnclem2  38782  istotbnd3  38897  sstotbnd  38901  prdsbnd  38919  cntotbnd  38922  heiborlem1  38937  heibor  38947  lmhmfgima  44279