Theorem fofi 9287

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 603	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  –onto→wfo 6535   ≼ cdom 8954  Fincfn 8956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7867  df-1o 8459  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960

This theorem is used by:  f1fi  9288  imafi  9289  f1opwfi  9327  indexfi  9331  intrnfi  9390  infpwfien  10069  ttukeylem6  10520  fseqsupcl  14045  fiinfnf1o  14418  vdwlem6  17084  0ram2  17119  0ramcl  17121  mplsubrglem  22224  tgcmp  23632  hauscmplem  23637  1stcfb  23676  comppfsc  23764  1stckgenlem  23785  ptcnplem  23853  txtube  23872  txcmplem1  23873  tmdgsum2  24328  tsmsf1o  24377  tsmsxplem1  24385  ovolicc2lem4  25754  i1fadd  25929  i1fmul  25930  itg1addlem4  25933  i1fmulc  25937  mbfi1fseqlem4  25952  limciun  26128  edgusgrnbfin  29841  fsupprnfi  33172  erdszelem2  35779  mvrsfpw  36093  itg2addnclem2  38429  istotbnd3  38529  sstotbnd  38533  prdsbnd  38551  cntotbnd  38554  heiborlem1  38569  heibor  38579  lmhmfgima  43933