MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fofi 9351
Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 9350 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2 domfi 9229 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
31, 2syldan 591 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108   class class class wbr 5143  ontowfo 6559  cdom 8983  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  f1fi  9352  imafi  9353  f1opwfi  9396  indexfi  9400  intrnfi  9456  infpwfien  10102  ttukeylem6  10554  fseqsupcl  14018  fiinfnf1o  14389  vdwlem6  17024  0ram2  17059  0ramcl  17061  mplsubrglem  22024  tgcmp  23409  hauscmplem  23414  1stcfb  23453  comppfsc  23540  1stckgenlem  23561  ptcnplem  23629  txtube  23648  txcmplem1  23649  tmdgsum2  24104  tsmsf1o  24153  tsmsxplem1  24161  ovolicc2lem4  25555  i1fadd  25730  i1fmul  25731  itg1addlem4  25734  i1fmulc  25738  mbfi1fseqlem4  25753  limciun  25929  edgusgrnbfin  29390  fsupprnfi  32701  erdszelem2  35197  mvrsfpw  35511  itg2addnclem2  37679  istotbnd3  37778  sstotbnd  37782  prdsbnd  37800  cntotbnd  37803  heiborlem1  37818  heibor  37828  lmhmfgima  43096
  Copyright terms: Public domain W3C validator