Theorem fofi 9261

Description: If an onto function has a finite domain, its codomain/range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 9260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 9161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  –onto→wfo 6523   ≼ cdom 8929  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  f1fi  9262  imafi  9263  f1opwfi  9301  indexfi  9305  intrnfi  9364  infpwfien  10034  ttukeylem6  10486  fseqsupcl  14004  fiinfnf1o  14377  vdwlem6  17036  0ram2  17071  0ramcl  17073  mplsubrglem  22113  tgcmp  23519  hauscmplem  23524  1stcfb  23563  comppfsc  23650  1stckgenlem  23671  ptcnplem  23739  txtube  23758  txcmplem1  23759  tmdgsum2  24214  tsmsf1o  24263  tsmsxplem1  24271  ovolicc2lem4  25640  i1fadd  25815  i1fmul  25816  itg1addlem4  25819  i1fmulc  25823  mbfi1fseqlem4  25838  limciun  26014  edgusgrnbfin  29632  fsupprnfi  32949  erdszelem2  35555  mvrsfpw  35869  itg2addnclem2  38183  istotbnd3  38282  sstotbnd  38286  prdsbnd  38304  cntotbnd  38307  heiborlem1  38322  heibor  38332  lmhmfgima  43673