Theorem hasheqf1oi 14308

Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hasheqf1oi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem hasheqf1oi

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheqf1o 14306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
2	1	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
3	2	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
4		fiinfnf1o 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
5	4	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
6	5	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
7		fiinfnf1o 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
8		19.41v 1951	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
9		f1orel 6779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝑓)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → Rel 𝑓)
11		f1ocnvb 6789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
13		f1of 6776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
14		fex 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ V)
15	13, 14	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ V)
16		cnvexg 7870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V)
17		f1oeq1 6764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ◡𝑓 → (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
18	17	spcegv 3540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑓 ∈ V → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
19	15, 16, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
20		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
21	19, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
22	12, 21	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
23	22	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
24	23	anabsi5 670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
25	24	exlimiv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
26	8, 25	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
27	26	ex 412	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
28	27	com13 88	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
30	29	ancoms 458	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
31		hashinf 14292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
32	31	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐴) = +∞)
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = +∞)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		f1ofo 6783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
38		focdmex 7904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
39	38	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
40	36, 37, 39	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
41		hashinf 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
42	41	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
43	42	ad3antlr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
44	40, 43	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
45	35, 44	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
46	45	ex 412	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
47	46	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
48	47	ex 412	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
49	3, 6, 30, 48	4cases 1041	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ^◡ccnv 5625  Rel wrel 5631  ⟶wf 6490  –onto→wfo 6492  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  Fincfn 8888  +∞cpnf 11171  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  hashf1rn  14309  hasheqf1od  14310  2lgslem1  27375  nbedgusgr  29459  rusgrnumwrdl2  29674  wwlksnexthasheq  29990  rusgrnumwlkg  30067  numclwwlkqhash  30464  bj-finsumval0  37619  aks6d1c2  42587