Theorem hasheqf1oi 14308

Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hasheqf1oi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem hasheqf1oi

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheqf1o 14306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
2	1	biimprd 250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
3	2	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
4		fiinfnf1o 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
5	4	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
6	5	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
7		fiinfnf1o 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
8		19.41v 1957	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
9		f1orel 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝑓)
10	9	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → Rel 𝑓)
11		f1ocnvb 6784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
13		f1of 6771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
14		fex 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ V)
15	13, 14	sylan 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ V)
16		cnvexg 7868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V)
17		f1oeq1 6759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ◡𝑓 → (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴))
18	17	spcegv 3537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑓 ∈ V → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
19	15, 16, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
20		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
21	19, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
22	12, 21	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
23	22	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
24	23	anabsi5 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
25	24	exlimiv 1938	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
26	8, 25	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
27	26	ex 414	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
28	27	com13 88	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
30	29	ancoms 460	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
31		hashinf 14292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
32	31	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
33	32	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
34	33	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐴) = +∞)
35	34	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = +∞)
36		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		f1ofo 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
38		focdmex 7902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
39	38	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
40	36, 37, 39	syl2an 603	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
41		hashinf 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
42	41	expcom 415	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
43	42	ad3antlr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
44	40, 43	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
45	35, 44	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
46	45	ex 414	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
47	46	exlimdv 1941	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
48	47	ex 414	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
49	3, 6, 30, 48	4cases 1047	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ^◡ccnv 5620  Rel wrel 5626  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  Fincfn 8887  +∞cpnf 11171  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  hashf1rn  14309  hasheqf1od  14310  2lgslem1  27379  nbedgusgr  29463  rusgrnumwrdl2  29677  wwlksnexthasheq  29993  rusgrnumwlkg  30070  numclwwlkqhash  30467  bj-finsumval0  37660  aks6d1c2  42630