MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheqf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheqf1oi 14313
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 14311 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
21biimprd 247 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
32a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
4 fiinfnf1o 14312 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
54pm2.21d 121 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
65a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
7 fiinfnf1o 14312 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
8 19.41v 1953 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉))
9 f1orel 6836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝑓)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → Rel 𝑓)
11 f1ocnvb 6846 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
13 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
14 fex 7230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
1513, 14sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
16 cnvexg 7917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
17 f1oeq1 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1817spcegv 3587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
20 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2212, 21sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2423anabsi5 667 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2524exlimiv 1933 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
268, 25sylbir 234 . . . . . 6 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2726ex 413 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴𝑉 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2827com13 88 . . . 4 (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
297, 28syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
3029ancoms 459 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
31 hashinf 14297 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
3231expcom 414 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
3433imp 407 . . . . . . 7 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝐴) = +∞)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = +∞)
36 simpr 485 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
37 f1ofo 6840 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
38 focdmex 7944 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
3938imp 407 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4036, 37, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
41 hashinf 14297 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
4241expcom 414 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
4342ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
4440, 43mpd 15 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
4535, 44eqtr4d 2775 . . . . 5 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
4645ex 413 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
4746exlimdv 1936 . . 3 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
4847ex 413 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
493, 6, 30, 484cases 1039 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3474  ccnv 5675  Rel wrel 5681  wf 6539  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  Fincfn 8941  +∞cpnf 11247  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  hashf1rn  14314  hasheqf1od  14315  2lgslem1  26904  nbedgusgr  28667  rusgrnumwrdl2  28881  wwlksnexthasheq  29195  rusgrnumwlkg  29269  numclwwlkqhash  29666  bj-finsumval0  36252
  Copyright terms: Public domain W3C validator