MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheqf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheqf1oi 13562
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 13559 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
21biimprd 249 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
32a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
4 fiinfnf1o 13560 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
54pm2.21d 121 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
65a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
7 fiinfnf1o 13560 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
8 19.41v 1927 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉))
9 f1orel 6486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝑓)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → Rel 𝑓)
11 f1ocnvb 6496 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
13 f1of 6483 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
14 fex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
1513, 14sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
16 cnvexg 7485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
17 f1oeq1 6472 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1817spcegv 3540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
20 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2212, 21sylbid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2423anabsi5 665 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2524exlimiv 1908 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
268, 25sylbir 236 . . . . . 6 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
2726ex 413 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴𝑉 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
2827com13 88 . . . 4 (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
297, 28syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
3029ancoms 459 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
31 hashinf 13545 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
3231expcom 414 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) = +∞))
3433imp 407 . . . . . . 7 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝐴) = +∞)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = +∞)
36 simpr 485 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
37 f1ofo 6490 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
38 focdmex 13561 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3936, 37, 38syl2an 595 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
40 hashinf 13545 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
4140expcom 414 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
4241ad3antlr 727 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) = +∞))
4339, 42mpd 15 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
4435, 43eqtr4d 2834 . . . . 5 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
4544ex 413 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
4645exlimdv 1911 . . 3 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
4746ex 413 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))))
483, 6, 30, 474cases 1033 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  Vcvv 3437  ccnv 5442  Rel wrel 5448  wf 6221  ontowfo 6223  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  Fincfn 8357  +∞cpnf 10518  chash 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-hash 13541
This theorem is referenced by:  hashf1rn  13563  hasheqf1od  13564  2lgslem1  25652  nbedgusgr  26837  rusgrnumwrdl2  27051  wwlksnexthasheq  27368  rusgrnumwlkg  27443  numclwwlkqhash  27846  bj-finsumval0  34119
  Copyright terms: Public domain W3C validator