Theorem fimaxre 12089

Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11215	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5548	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fimaxg 9186	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
5	3, 4	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
6		ssel2 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		ssel2 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
11		orcom 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12		equcom 2020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
13	12	orbi2i 913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))
14	11, 13	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
16		neor 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥)))
18	10, 15, 17	3bitr2d 307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥)))
19	18	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	ralimdva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
22	21	reximdva 3148	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24	5, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263   class class class wbr 5074   Or wor 5527  Fincfn 8882  ℝcr 11026   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-om 7807  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  fimaxre2  12090  0ram2  16981  0ramcl  16983  prmgaplem3  17013  ballotlemfc0  34625  ballotlemfcc  34626  filbcmb  38049