MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre 12210
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 11344 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 5614 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fimaxg 9324 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
53, 4syl3an1 1160 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
6 ssel2 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
76adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 ssel2 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107, 9leloed 11407 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
11 orcom 868 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦))
12 equcom 2014 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
1312orbi2i 910 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1411, 13bitri 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
16 neor 3024 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1810, 15, 173bitr2d 306 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1918biimprd 247 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2019anassrs 466 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2120ralimdva 3157 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221reximdva 3158 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
23223ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
245, 23mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  wss 3947  c0 4325   class class class wbr 5153   Or wor 5593  Fincfn 8974  cr 11157   < clt 11298  cle 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304
This theorem is referenced by:  fimaxre2  12211  0ram2  17023  0ramcl  17025  prmgaplem3  17055  ballotlemfc0  34326  ballotlemfcc  34327  filbcmb  37441
  Copyright terms: Public domain W3C validator