MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre 11385
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 10521 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 5345 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fimaxg 8560 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
53, 4syl3an1 1143 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
6 ssel2 3854 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
76adantrl 703 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 ssel2 3854 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantrr 704 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107, 9leloed 10583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
11 orcom 856 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦))
12 equcom 1975 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
1312orbi2i 896 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1411, 13bitri 267 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
16 neor 3060 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1810, 15, 173bitr2d 299 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1918biimprd 240 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2019anassrs 460 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2120ralimdva 3128 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221reximdva 3220 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
23223ad2ant1 1113 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
245, 23mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068  wcel 2050  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  wss 3830  c0 4179   class class class wbr 4929   Or wor 5325  Fincfn 8306  cr 10334   < clt 10474  cle 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-om 7397  df-1o 7905  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480
This theorem is referenced by:  fimaxre2  11387  fiminreOLD  11391  0ram2  16213  0ramcl  16215  prmgaplem3  16245  ballotlemfc0  31393  ballotlemfcc  31394  filbcmb  34454
  Copyright terms: Public domain W3C validator