MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre 11776
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 10913 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 5488 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fimaxg 8918 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
53, 4syl3an1 1165 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
6 ssel2 3895 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
76adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 ssel2 3895 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107, 9leloed 10975 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
11 orcom 870 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦))
12 equcom 2026 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
1312orbi2i 913 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1411, 13bitri 278 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
16 neor 3033 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1810, 15, 173bitr2d 310 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1918biimprd 251 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2019anassrs 471 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2120ralimdva 3100 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221reximdva 3193 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
23223ad2ant1 1135 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
245, 23mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053   Or wor 5467  Fincfn 8626  cr 10728   < clt 10867  cle 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873
This theorem is referenced by:  fimaxre2  11777  0ram2  16574  0ramcl  16576  prmgaplem3  16606  ballotlemfc0  32171  ballotlemfcc  32172  filbcmb  35635
  Copyright terms: Public domain W3C validator