Theorem fimaxre 12230

Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11361	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fimaxg 9256	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
5	3, 4	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
6		ssel2 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		ssel2 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
11		orcom 884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12		equcom 2051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
13	12	orbi2i 926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))
14	11, 13	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
16		neor 3047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥)))
18	10, 15, 17	3bitr2d 310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥)))
19	18	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
22	21	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24	5, 23	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   Or wor 5554  Fincfn 8951  ℝcr 11170   < clt 11314   ≤ cle 11315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320

This theorem is used by:  fimaxre2  12231  0ram2  17160  0ramcl  17162  prmgaplem3  17192  ballotlemfc0  35059  ballotlemfcc  35060  filbcmb  38594