Theorem fisupg 9301

Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fisupg	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisupg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimaxg 9300	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
2		sotrieq2 5598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
3	2	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
4	3	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5	4	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
7		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑥))
8		so2nr 5594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
9		pm3.21 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	9	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
11	8, 10	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12	11	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
13	7, 12	syl9r 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
14	6, 13	pm2.61dne 3019	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
15	14	ralimdva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16		breq2 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
17	16	rspcev 3606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
19	18	ralrimivw 3137	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
21	15, 20	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
22	21	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
23	22	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   Or wor 5565  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  fisup2g  9486  fisupcl  9487  rencldnfilem  42810