MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupg 8477
Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fisupg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisupg
StepHypRef Expression
1 fimaxg 8476 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
2 sotrieq2 5291 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
32simprbda 494 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
43ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
54anassrs 461 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
65a1dd 50 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
7 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑥))
8 so2nr 5287 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ¬ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
9 pm3.21 465 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
109con3d 150 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑅𝑥 → (¬ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
118, 10syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1211anassrs 461 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
137, 12syl9r 78 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
146, 13pm2.61dne 3085 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1514ralimdva 3171 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16 breq2 4877 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1716rspcev 3526 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)
1817ex 403 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1918ralrimivw 3176 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
2019adantl 475 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
2115, 20jctird 524 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
2221reximdva 3225 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2ant1 1169 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
241, 23mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  c0 4144   class class class wbr 4873   Or wor 5262  Fincfn 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226
This theorem is referenced by:  fisup2g  8643  fisupcl  8644  rencldnfilem  38228
  Copyright terms: Public domain W3C validator