MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupg 9322
Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fisupg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisupg
StepHypRef Expression
1 fimaxg 9321 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
2 sotrieq2 5624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
32simprbda 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
43ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
54anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
65a1dd 50 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
7 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑥))
8 so2nr 5620 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ¬ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
9 pm3.21 470 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
109con3d 152 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑅𝑥 → (¬ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
118, 10syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1211anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
137, 12syl9r 78 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
146, 13pm2.61dne 3025 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1514ralimdva 3164 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16 breq2 5156 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1716rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)
1817ex 411 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1918ralrimivw 3147 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
2019adantl 480 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
2115, 20jctird 525 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
2221reximdva 3165 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
241, 23mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  c0 4326   class class class wbr 5152   Or wor 5593  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-en 8971  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  fisup2g  9499  fisupcl  9500  rencldnfilem  42271
  Copyright terms: Public domain W3C validator