Theorem fmfil 24171

Description: A mapping filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmfil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem fmfil

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmval 24170	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
3	2	fbasrn 24111	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
4	3	3comr 1143	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
5		fgcl 24105	. . 3 ⊢ (ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (Fil‘𝑋))
7	1, 6	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  fBascfbas 21574  filGencfg 21575  Filcfil 24072   FilMap cfm 24160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-fil 24073  df-fm 24165

This theorem is used by:  fmf  24172  fmufil  24186  fmco  24188  ufldom  24189  flfnei  24218  isflf  24220  flfcnp  24231  isfcf  24261  cnpfcfi  24267  cnpfcf  24268  cnextucn  24529