Theorem fmfil 23892

Description: A mapping filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmfil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem fmfil

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmval 23891	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
3	2	fbasrn 23832	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
4	3	3comr 1126	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
5		fgcl 23826	. . 3 ⊢ (ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (Fil‘𝑋))
7	1, 6	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  fBascfbas 21301  filGencfg 21302  Filcfil 23793   FilMap cfm 23881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-fil 23794  df-fm 23886

This theorem is referenced by:  fmf  23893  fmufil  23907  fmco  23909  ufldom  23910  flfnei  23939  isflf  23941  flfcnp  23952  isfcf  23982  cnpfcfi  23988  cnpfcf  23989  cnextucn  24250