Theorem nvmcl 30846

Description: Closure law for the vector subtraction operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvmf.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvmf 30845	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		fovcdm 7566	. 2 ⊢ ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5	3, 4	syl3an1 1176	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   × cxp 5645  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  NrmCVeccnv 30784  BaseSetcba 30786   −_𝑣 cnsb 30789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417  df-grpo 30693  df-gid 30694  df-ginv 30695  df-gdiv 30696  df-ablo 30745  df-vc 30759  df-nv 30792  df-va 30795  df-ba 30796  df-sm 30797  df-0v 30798  df-vs 30799  df-nmcv 30800

This theorem is referenced by:  nvmeq0  30858  vacn  30894  smcnlem  30897  sspimsval  30938  blometi  31003  dipsubdi  31049  siilem1  31051  ip2eqi  31056  minvecolem1  31074  minvecolem2  31075  minvecolem4  31080  minvecolem5  31081  minvecolem6  31082