MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4uzlem 13335
Description: Lemma for axdc4uz 13336. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
axdc4uz.3 𝐴 ∈ V
axdc4uz.4 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
axdc4uz.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑦,𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑥   𝑔,𝑍,𝑛,𝑥   𝑔,𝐺,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑛)   𝑍(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℤ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
31, 2om2uzf1oi 13305 . . . . . . . . . 10 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 f1oeq3 6582 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = (ℤ𝑀) → (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀))
73, 6mpbir 233 . . . . . . . . 9 𝐺:ω–1-1-onto𝑍
8 f1of 6591 . . . . . . . . 9 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω⟶𝑍)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐺:ω⟶𝑍
109ffvelrni 6826 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝐺𝑛) ∈ 𝑍)
11 fovrn 7296 . . . . . . 7 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑍𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1210, 11syl3an2 1160 . . . . . 6 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
13123expb 1116 . . . . 5 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1413ralrimivva 3178 . . . 4 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
15 axdc4uz.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
1615fmpo 7744 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1714, 16sylib 220 . . 3 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
18 axdc4uz.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
1918axdc4 9856 . . 3 ((𝐶𝐴𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
2017, 19sylan2 594 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
21 f1ocnv 6603 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:𝑍1-1-onto→ω)
22 f1of 6591 . . . . . . 7 (𝐺:𝑍1-1-onto→ω → 𝐺:𝑍⟶ω)
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 𝐺:𝑍⟶ω
24 fco 6507 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴𝐺:𝑍⟶ω) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
2523, 24mpan2 689 . . . . 5 (𝑓:ω⟶𝐴 → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
26253ad2ant1 1129 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
27 uzid 12237 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ (ℤ𝑀)
2928, 4eleqtrri 2910 . . . . . . 7 𝑀𝑍
30 fvco3 6736 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑀𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀)))
3123, 29, 30mp2an 690 . . . . . 6 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀))
321, 2om2uz0i 13299 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 𝑀
33 peano1 7579 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
34 f1ocnvfv 7012 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅))
357, 33, 34mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅)
3632, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) = ∅
3736fveq2i 6649 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐺𝑀)) = (𝑓‘∅)
3831, 37eqtri 2843 . . . . 5 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘∅)
39 simp2 1133 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓‘∅) = 𝐶)
4038, 39syl5eq 2867 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶)
4123ffvelrni 6826 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ∈ ω)
4241adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ω)
43 suceq 6232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → suc 𝑚 = suc (𝐺𝑘))
4443fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓‘suc 𝑚) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → 𝑚 = (𝐺𝑘))
46 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓𝑚) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
4745, 46oveq12d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) = ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))))
4844, 47eleq12d 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐺𝑘) → ((𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) ↔ (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
4948rspcv 3597 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
5042, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
514peano2uzs 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
52 fvco3 6736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
5323, 51, 52sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
541, 2om2uzsuci 13300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
5541, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
56 f1ocnvfv2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
577, 56mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
5857oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1) = (𝑘 + 1))
5955, 58eqtrd 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1))
60 peano2 7580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
6141, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
62 f1ocnvfv 7012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ suc (𝐺𝑘) ∈ ω) → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
637, 61, 62sylancr 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘))
6564fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
6653, 65eqtr2d 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
6766adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
68 ffvelrn 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ ω) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
6941, 68sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
70 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝐺𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝐺𝑘)))
7170oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐺𝑘) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥))
72 oveq2 7141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓‘(𝐺𝑘)) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
73 ovex 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) ∈ V
7471, 72, 15, 73ovmpo 7287 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ ω ∧ (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
7542, 69, 74syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
76 fvco3 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7723, 76mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7877eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
7957, 78oveq12d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8079adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8175, 80eqtrd 2855 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8267, 81eleq12d 2905 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8350, 82sylibd 241 . . . . . . 7 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8483impancom 454 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8584ralrimiv 3168 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
86853adant2 1127 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
87 vex 3476 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
88 rdgfun 8030 . . . . . . . . 9 Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀)
89 omex 9084 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
90 resfunexg 6954 . . . . . . . . 9 ((Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V)
9188, 89, 90mp2an 690 . . . . . . . 8 (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V
922, 91eqeltri 2907 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
9392cnvex 7608 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
9487, 93coex 7613 . . . . 5 (𝑓𝐺) ∈ V
95 feq1 6471 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔:𝑍𝐴 ↔ (𝑓𝐺):𝑍𝐴))
96 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑀) = ((𝑓𝐺)‘𝑀))
9796eqeq1d 2822 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔𝑀) = 𝐶 ↔ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶))
98 fveq1 6645 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
99 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑘) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
10099oveq2d 7149 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
10198, 100eleq12d 2905 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
102101ralbidv 3184 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
10395, 97, 1023anbi123d 1432 . . . . 5 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))))
10494, 103spcev 3586 . . . 4 (((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10526, 40, 86, 104syl3anc 1367 . . 3 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
106105exlimiv 1931 . 2 (∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10720, 106syl 17 1 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wex 1780  wcel 2114  wral 3125  Vcvv 3473  cdif 3910  c0 4269  𝒫 cpw 4515  {csn 4543  cmpt 5122   × cxp 5529  ccnv 5530  cres 5533  ccom 5535  suc csuc 6169  Fun wfun 6325  wf 6327  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  ωcom 7558  reccrdg 8023  1c1 10516   + caddc 10518  cz 11960  cuz 12222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-dc 9846  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223
This theorem is referenced by:  axdc4uz  13336
  Copyright terms: Public domain W3C validator