MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpodivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpodivcl 27785
Description: Closure of group division (or subtraction) operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdivf.1 𝑋 = ran 𝐺
grpdivf.3 𝐷 = ( /𝑔𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpodivcl ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpodivcl
StepHypRef Expression
1 grpdivf.1 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
2 grpdivf.3 . . 3 𝐷 = ( /𝑔𝐺)
31, 2grpodivf 27784 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4 fovrn 7002 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
53, 4syl3an1 1202 1 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   × cxp 5275  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  GrpOpcgr 27735   /𝑔 cgs 27738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742
This theorem is referenced by:  grpodivdiv  27786  ablomuldiv  27798  ablodivdiv4  27800  ablonnncan1  27803  ablo4pnp  34033  ghomdiv  34045  grpokerinj  34046  dmncan1  34229
  Copyright terms: Public domain W3C validator