Theorem grpodivcl 29188

Description: Closure of group division (or subtraction) operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpdivf.3	⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpodivcl	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpodivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpdivf.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)
3	1, 2	grpodivf 29187	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		fovcdm 7508	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   × cxp 5622  ran crn 5625  ⟶wf 6479  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  GrpOpcgr 29138   /_𝑔 cgs 29141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-grpo 29142  df-gid 29143  df-ginv 29144  df-gdiv 29145

This theorem is referenced by:  grpodivdiv  29189  ablomuldiv  29201  ablodivdiv4  29203  ablonnncan1  29206  ablo4pnp  36194  ghomdiv  36206  grpokerinj  36207  dmncan1  36390