Theorem grpodivcl 30540

Description: Closure of group division (or subtraction) operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpdivf.3	⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpodivcl	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpodivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpdivf.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)
3	1, 2	grpodivf 30539	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		fovcdm 7525	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5619  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  GrpOpcgr 30490   /_𝑔 cgs 30493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-grpo 30494  df-gid 30495  df-ginv 30496  df-gdiv 30497

This theorem is referenced by:  grpodivdiv  30541  ablomuldiv  30553  ablodivdiv4  30555  ablonnncan1  30558  ablo4pnp  37993  ghomdiv  38005  grpokerinj  38006  dmncan1  38189