Theorem grpodivcl 28308

Description: Closure of group division (or subtraction) operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpdivf.3	⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpodivcl	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpodivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpdivf.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)
3	1, 2	grpodivf 28307	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		fovrn 7310	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
5	3, 4	syl3an1 1157	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   × cxp 5546  ran crn 5549  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  GrpOpcgr 28258   /_𝑔 cgs 28261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265

This theorem is referenced by:  grpodivdiv  28309  ablomuldiv  28321  ablodivdiv4  28323  ablonnncan1  28326  ablo4pnp  35150  ghomdiv  35162  grpokerinj  35163  dmncan1  35346