Theorem fsuppxpfi 9302

Description: The cartesian product of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 17-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppxpfi	⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppxpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9286	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 finSupp 𝑍)
4	3	fsuppimpd 9286	. 2 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
5		xpfi 9234	. 2 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   × cxp 5632  (class class class)co 7370   supp csupp 8114  Fincfn 8897   finSupp cfsupp 9278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-1o 8409  df-en 8898  df-dom 8899  df-fin 8901  df-fsupp 9279

This theorem is referenced by:  mplsubrglem  21976