MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppxpfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppxpfi 9256
Description: The cartesian product of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 17-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppxpfi ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppxpfi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)
21fsuppimpd 9246 . 2 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3 id 22 . . 3 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)
43fsuppimpd 9246 . 2 (𝐺 finSupp 𝑍 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
5 xpfi 9195 . 2 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
62, 4, 5syl2an 597 1 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5104   × cxp 5629  (class class class)co 7350   supp csupp 8060  Fincfn 8817   finSupp cfsupp 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-1o 8380  df-en 8818  df-fin 8821  df-fsupp 9240
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  21338
  Copyright terms: Public domain W3C validator