Theorem fsuppxpfi 9343

Description: The cartesian product of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 17-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppxpfi	⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppxpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9327	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 finSupp 𝑍)
4	3	fsuppimpd 9327	. 2 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
5		xpfi 9277	. 2 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) × (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   × cxp 5658  (class class class)co 7412   supp csupp 8154  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fsupp 9320

This theorem is used by:  mplsubrglem  22164