Theorem xpfi 9230

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9229	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5765	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9107	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  3xpfi  9231  fodomfir  9238  mapfi  9258  fsuppxpfi  9298  infxpenlem  9935  ficardadju  10122  ackbij1lem9  10149  ackbij1lem10  10150  hashxplem  14395  hashmap  14397  fsum2dlem  15732  fsumcom2  15736  ackbijnn  15793  fprod2dlem  15945  fprodcom2  15949  rexpen  16195  crth  16748  phimullem  16749  prmreclem3  16889  gsumcom3fi  19954  ablfaclem3  20064  gsumdixp  20298  frlmbas3  21756  gsumbagdiag  21911  psrass1lem  21912  evlslem2  22057  mamudm  22360  mamufacex  22361  mamures  22362  mamucl  22366  mamudi  22368  mamudir  22369  mamuvs1  22370  mamuvs2  22371  matsca2  22385  matbas2  22386  matplusg2  22392  matvsca2  22393  matplusgcell  22398  matsubgcell  22399  matvscacell  22401  matgsum  22402  mamumat1cl  22404  mattposcl  22418  mdetrsca  22568  mdetunilem9  22585  pmatcoe1fsupp  22666  tsmsxplem1  24118  tsmsxplem2  24119  tsmsxp  24120  i1fadd  25662  i1fmul  25663  itg1addlem4  25666  fsumdvdsmul  27158  fsumvma  27176  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  madefi  27905  relfi  32672  fsumiunle  32902  elrgspnlem2  33304  matdim  33759  fedgmullem1  33773  fldextrspunlsplem  33817  sibfof  34484  hgt750lemb  34800  erdszelem10  35382  matunitlindflem2  37938  matunitlindf  37939  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  cntotbnd  38117  aks6d1c2  42569  sticksstones22  42607  pellex  43263  mnringmulrcld  44655  fourierdlem42  46577  etransclem44  46706  etransclem45  46707  etransclem47  46709