Theorem xpfi 8822

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 5538	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
2	1	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (∅ × 𝐵) ∈ Fin))
3	2	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (∅ × 𝐵) ∈ Fin)))
4		xpeq1 5538	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵))
5	4	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin))
6	5	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin)))
7		xpeq1 5538	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
8	7	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
9	8	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
10		xpeq1 5538	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
11	10	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin))
12	11	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)))
13		0xp 5618	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
14		0fin 8740	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
15	13, 14	eqeltri 2848	. . . 4 ⊢ (∅ × 𝐵) ∈ Fin
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (∅ × 𝐵) ∈ Fin)
17		neq0 4244	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦)
18		sneq 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {𝑧} = {𝑤})
19	18	difeq2d 4028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 ∖ {𝑧}) = (𝑦 ∖ {𝑤}))
20	19	xpeq1d 5553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵))
21	20	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin ↔ ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
22	21	imbi2d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
23	22	rspcv 3536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
25		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
26	25	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
27		snex 5300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑤} ∈ V
28		xpexg 7471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑤} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ V)
29	27, 28	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ∈ V)
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
31		vex 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑤 ∈ V
32		2ndconst 7801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ V → (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto→𝐵)
33	31, 32	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto→𝐵)
34		f1oen2g 8544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑤} × 𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto→𝐵) → ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵)
35	29, 30, 33, 34	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵)
36		enfii 8773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
37	35, 36	mpdan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
39		unfi 8741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin)
40		xpundir 5590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) × 𝐵) = (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵))
41		difsnid 4700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑦)
42	41	xpeq1d 5553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → (((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
43	40, 42	syl5eqr 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) = (𝑦 × 𝐵))
44	43	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin ↔ (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
45	44	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
47	39, 46	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
48	38, 47	mpan2d 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
49	24, 26, 48	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
50	49	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
51	50	exlimdv 1934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
52	17, 51	syl5bi 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝑦 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
53		xpeq1 5538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
54	53, 15	eqeltrdi 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
55	54	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
56	52, 55	pm2.61d2 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
57	56	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
58	57	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
59	3, 6, 9, 12, 16, 58	findcard 8734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin))
60	59	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856  ∅c0 4225  {csn 4522   class class class wbr 5032   × cxp 5522   ↾ cres 5526  –1-1-onto→wf1o 6334  2^nd c2nd 7692   ≈ cen 8524  Fincfn 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-en 8528  df-fin 8531

This theorem is referenced by:  3xpfi  8823  mapfi  8853  fsuppxpfi  8883  infxpenlem  9473  ficardadju  9659  ackbij1lem9  9688  ackbij1lem10  9689  hashxplem  13844  hashmap  13846  fsum2dlem  15173  fsumcom2  15177  ackbijnn  15231  fprod2dlem  15382  fprodcom2  15386  rexpen  15629  crth  16170  phimullem  16171  prmreclem3  16309  gsumcom3fi  19167  ablfaclem3  19277  gsumdixp  19430  frlmbas3  20541  gsumbagdiagOLD  20701  psrass1lemOLD  20702  gsumbagdiag  20704  psrass1lem  20705  evlslem2  20842  mamudm  21090  mamufacex  21091  mamures  21092  mamucl  21101  mamudi  21103  mamudir  21104  mamuvs1  21105  mamuvs2  21106  matsca2  21120  matbas2  21121  matplusg2  21127  matvsca2  21128  matplusgcell  21133  matsubgcell  21134  matvscacell  21136  matgsum  21137  mamumat1cl  21139  mattposcl  21153  mdetrsca  21303  mdetunilem9  21320  pmatcoe1fsupp  21401  tsmsxplem1  22853  tsmsxplem2  22854  tsmsxp  22855  i1fadd  24395  i1fmul  24396  itg1addlem4  24399  fsumdvdsmul  25879  fsumvma  25896  lgsquadlem1  26063  lgsquadlem2  26064  lgsquadlem3  26065  relfi  30463  fsumiunle  30667  matdim  31219  fedgmullem1  31231  sibfof  31826  hgt750lemb  32155  erdszelem10  32678  matunitlindflem2  35356  matunitlindf  35357  poimirlem26  35385  poimirlem27  35386  poimirlem28  35387  cntotbnd  35536  pellex  40171  mnringmulrcld  41331  fourierdlem42  43179  etransclem44  43308  etransclem45  43309  etransclem47  43311