Theorem xpfi 9220

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5310. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9219	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5758	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9097	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   × cxp 5622  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  3xpfi  9221  fodomfir  9228  mapfi  9248  fsuppxpfi  9288  infxpenlem  9923  ficardadju  10110  ackbij1lem9  10137  ackbij1lem10  10138  hashxplem  14356  hashmap  14358  fsum2dlem  15693  fsumcom2  15697  ackbijnn  15751  fprod2dlem  15903  fprodcom2  15907  rexpen  16153  crth  16705  phimullem  16706  prmreclem3  16846  gsumcom3fi  19908  ablfaclem3  20018  gsumdixp  20254  frlmbas3  21731  gsumbagdiag  21887  psrass1lem  21888  evlslem2  22034  mamudm  22339  mamufacex  22340  mamures  22341  mamucl  22345  mamudi  22347  mamudir  22348  mamuvs1  22349  mamuvs2  22350  matsca2  22364  matbas2  22365  matplusg2  22371  matvsca2  22372  matplusgcell  22377  matsubgcell  22378  matvscacell  22380  matgsum  22381  mamumat1cl  22383  mattposcl  22397  mdetrsca  22547  mdetunilem9  22564  pmatcoe1fsupp  22645  tsmsxplem1  24097  tsmsxplem2  24098  tsmsxp  24099  i1fadd  25652  i1fmul  25653  itg1addlem4  25656  fsumdvdsmul  27161  fsumdvdsmulOLD  27163  fsumvma  27180  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  lgsquadlem3  27349  madefi  27909  relfi  32677  fsumiunle  32910  elrgspnlem2  33325  matdim  33772  fedgmullem1  33786  fldextrspunlsplem  33830  sibfof  34497  hgt750lemb  34813  erdszelem10  35394  matunitlindflem2  37818  matunitlindf  37819  poimirlem26  37847  poimirlem27  37848  poimirlem28  37849  cntotbnd  37997  aks6d1c2  42384  sticksstones22  42422  pellex  43077  mnringmulrcld  44469  fourierdlem42  46393  etransclem44  46522  etransclem45  46523  etransclem47  46525