Theorem xpfi 9289

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5330. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9288	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5790	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9167	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5653  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1o 8455  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  3xpfi  9290  fodomfir  9297  mapfi  9315  fsuppxpfi  9355  infxpenlem  10016  ficardadju  10202  ackbij1lem9  10229  ackbij1lem10  10230  hashxplem  14498  hashmap  14500  fsum2dlem  15856  fsumcom2  15860  ackbijnn  15917  fprod2dlem  16067  fprodcom2  16071  rexpen  16316  crth  16869  phimullem  16870  prmreclem3  17010  gsumcom3fi  20106  ablfaclem3  20216  gsumdixp  20459  frlmbas3  21989  gsumbagdiag  22147  psrass1lem  22148  evlslem2  22295  mamudm  22617  mamufacex  22618  mamures  22619  mamucl  22623  mamudi  22625  mamudir  22626  mamuvs1  22627  mamuvs2  22628  matsca2  22642  matbas2  22643  matplusg2  22649  matvsca2  22650  matplusgcell  22655  matsubgcell  22656  matvscacell  22658  matgsum  22659  mamumat1cl  22661  mattposcl  22675  mdetrsca  22825  mdetunilem9  22842  matunitlindflem2  22902  matunitlindf  22903  pmatcoe1fsupp  22926  tsmsxplem1  24379  tsmsxplem2  24380  tsmsxp  24381  i1fadd  25923  i1fmul  25924  itg1addlem4  25927  fsumdvdsmul  27431  fsumvma  27449  lgsquadlem1  27616  lgsquadlem2  27617  lgsquadlem3  27618  madefi  28178  relfi  33075  fsumiunle  33299  elrgspnlem2  33683  matdim  34125  fedgmullem1  34139  fldextrspunlsplem  34183  sibfof  34851  hgt750lemb  35164  erdszelem10  35779  poimirlem26  38395  poimirlem27  38396  poimirlem28  38397  cntotbnd  38546  aks6d1c2  42996  sticksstones22  43034  pellex  43676  mnringmulrcld  45066  fourierdlem42  46977  etransclem44  47106  etransclem45  47107  etransclem47  47109