Theorem xpfi 9317

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5364. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9178	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5810	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9173	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   × cxp 5675  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  3xpfi  9319  mapfi  9348  fsuppxpfi  9380  infxpenlem  10008  ficardadju  10194  ackbij1lem9  10223  ackbij1lem10  10224  hashxplem  14393  hashmap  14395  fsum2dlem  15716  fsumcom2  15720  ackbijnn  15774  fprod2dlem  15924  fprodcom2  15928  rexpen  16171  crth  16711  phimullem  16712  prmreclem3  16851  gsumcom3fi  19847  ablfaclem3  19957  gsumdixp  20131  frlmbas3  21331  gsumbagdiagOLD  21492  psrass1lemOLD  21493  gsumbagdiag  21495  psrass1lem  21496  evlslem2  21642  mamudm  21890  mamufacex  21891  mamures  21892  mamucl  21901  mamudi  21903  mamudir  21904  mamuvs1  21905  mamuvs2  21906  matsca2  21922  matbas2  21923  matplusg2  21929  matvsca2  21930  matplusgcell  21935  matsubgcell  21936  matvscacell  21938  matgsum  21939  mamumat1cl  21941  mattposcl  21955  mdetrsca  22105  mdetunilem9  22122  pmatcoe1fsupp  22203  tsmsxplem1  23657  tsmsxplem2  23658  tsmsxp  23659  i1fadd  25212  i1fmul  25213  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  fsumdvdsmul  26699  fsumvma  26716  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  relfi  31833  fsumiunle  32035  matdim  32700  fedgmullem1  32714  sibfof  33339  hgt750lemb  33668  erdszelem10  34191  matunitlindflem2  36485  matunitlindf  36486  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  cntotbnd  36664  sticksstones22  40984  pellex  41573  mnringmulrcld  42987  fourierdlem42  44865  etransclem44  44994  etransclem45  44995  etransclem47  44997