Theorem xpfi 9304

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5327. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9303	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5787	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9181	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5649  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970

This theorem is used by:  3xpfi  9305  fodomfir  9312  mapfi  9330  fsuppxpfi  9370  infxpenlem  10085  ficardadju  10271  ackbij1lem9  10298  ackbij1lem10  10299  hashxplem  14571  hashmap  14573  fsum2dlem  15929  fsumcom2  15933  ackbijnn  15990  fprod2dlem  16140  fprodcom2  16144  rexpen  16389  crth  16948  phimullem  16949  prmreclem3  17089  gsumcom3fi  20186  ablfaclem3  20296  gsumdixp  20541  frlmbas3  22075  gsumbagdiag  22233  psrass1lem  22234  evlslem2  22381  mamudm  22703  mamufacex  22704  mamures  22705  mamucl  22709  mamudi  22711  mamudir  22712  mamuvs1  22713  mamuvs2  22714  matsca2  22728  matbas2  22729  matplusg2  22735  matvsca2  22736  matplusgcell  22741  matsubgcell  22742  matvscacell  22744  matgsum  22745  mamumat1cl  22747  mattposcl  22761  mdetrsca  22911  mdetunilem9  22928  matunitlindflem2  22988  matunitlindf  22989  pmatcoe1fsupp  23012  tsmsxplem1  24465  tsmsxplem2  24466  tsmsxp  24467  i1fadd  26009  i1fmul  26010  itg1addlem4  26013  fsumdvdsmul  27515  fsumvma  27533  lgsquadlem1  27700  lgsquadlem2  27701  lgsquadlem3  27702  madefi  28292  relfi  33189  fsumiunle  33413  elrgspnlem2  33797  matdim  34240  fedgmullem1  34254  fldextrspunlsplem  34298  sibfof  34965  hgt750lemb  35278  erdszelem10  35944  poimirlem26  38544  poimirlem27  38545  poimirlem28  38546  cntotbnd  38710  aks6d1c2  43160  sticksstones22  43198  pellex  43821  mnringmulrcld  45211  fourierdlem42  47128  etransclem44  47257  etransclem45  47258  etransclem47  47260