Theorem xpfi 9355

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5370. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9354	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9354	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5821	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9211	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604   × cxp 5686  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987

This theorem is referenced by:  3xpfi  9357  fodomfir  9365  mapfi  9385  fsuppxpfi  9422  infxpenlem  10050  ficardadju  10237  ackbij1lem9  10264  ackbij1lem10  10265  hashxplem  14468  hashmap  14470  fsum2dlem  15802  fsumcom2  15806  ackbijnn  15860  fprod2dlem  16012  fprodcom2  16016  rexpen  16260  crth  16811  phimullem  16812  prmreclem3  16951  gsumcom3fi  20011  ablfaclem3  20121  gsumdixp  20332  frlmbas3  21813  gsumbagdiag  21968  psrass1lem  21969  evlslem2  22120  mamudm  22414  mamufacex  22415  mamures  22416  mamucl  22420  mamudi  22422  mamudir  22423  mamuvs1  22424  mamuvs2  22425  matsca2  22441  matbas2  22442  matplusg2  22448  matvsca2  22449  matplusgcell  22454  matsubgcell  22455  matvscacell  22457  matgsum  22458  mamumat1cl  22460  mattposcl  22474  mdetrsca  22624  mdetunilem9  22641  pmatcoe1fsupp  22722  tsmsxplem1  24176  tsmsxplem2  24177  tsmsxp  24178  i1fadd  25743  i1fmul  25744  itg1addlem4  25747  itg1addlem4OLD  25748  fsumdvdsmul  27252  fsumdvdsmulOLD  27254  fsumvma  27271  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  lgsquadlem3  27440  madefi  27964  relfi  32621  fsumiunle  32835  elrgspnlem2  33232  matdim  33642  fedgmullem1  33656  sibfof  34321  hgt750lemb  34649  erdszelem10  35184  matunitlindflem2  37603  matunitlindf  37604  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  poimirlem28  37634  cntotbnd  37782  aks6d1c2  42111  sticksstones22  42149  pellex  42822  mnringmulrcld  44223  fourierdlem42  46104  etransclem44  46233  etransclem45  46234  etransclem47  46236