Theorem xpfi 9209

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5304. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9208	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5752	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9087	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551   × cxp 5617  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  3xpfi  9210  fodomfir  9218  mapfi  9238  fsuppxpfi  9275  infxpenlem  9907  ficardadju  10094  ackbij1lem9  10121  ackbij1lem10  10122  hashxplem  14340  hashmap  14342  fsum2dlem  15677  fsumcom2  15681  ackbijnn  15735  fprod2dlem  15887  fprodcom2  15891  rexpen  16137  crth  16689  phimullem  16690  prmreclem3  16830  gsumcom3fi  19858  ablfaclem3  19968  gsumdixp  20204  frlmbas3  21683  gsumbagdiag  21838  psrass1lem  21839  evlslem2  21984  mamudm  22280  mamufacex  22281  mamures  22282  mamucl  22286  mamudi  22288  mamudir  22289  mamuvs1  22290  mamuvs2  22291  matsca2  22305  matbas2  22306  matplusg2  22312  matvsca2  22313  matplusgcell  22318  matsubgcell  22319  matvscacell  22321  matgsum  22322  mamumat1cl  22324  mattposcl  22338  mdetrsca  22488  mdetunilem9  22505  pmatcoe1fsupp  22586  tsmsxplem1  24038  tsmsxplem2  24039  tsmsxp  24040  i1fadd  25594  i1fmul  25595  itg1addlem4  25598  fsumdvdsmul  27103  fsumdvdsmulOLD  27105  fsumvma  27122  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  lgsquadlem3  27291  madefi  27827  relfi  32546  fsumiunle  32774  elrgspnlem2  33183  matdim  33582  fedgmullem1  33596  fldextrspunlsplem  33640  sibfof  34308  hgt750lemb  34624  erdszelem10  35173  matunitlindflem2  37597  matunitlindf  37598  poimirlem26  37626  poimirlem27  37627  poimirlem28  37628  cntotbnd  37776  aks6d1c2  42103  sticksstones22  42141  pellex  42808  mnringmulrcld  44201  fourierdlem42  46130  etransclem44  46259  etransclem45  46260  etransclem47  46262