Theorem xpfi 9316

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5326. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9315	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5787	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9193	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148  𝒫 cpw 4556   × cxp 5648  Fincfn 8978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7880  df-1o 8481  df-en 8979  df-dom 8980  df-fin 8982

This theorem is used by:  3xpfi  9317  fodomfir  9324  mapfi  9342  fsuppxpfi  9382  infxpenlem  10097  ficardadju  10283  ackbij1lem9  10310  ackbij1lem10  10311  hashxplem  14583  hashmap  14585  fsum2dlem  15943  fsumcom2  15947  ackbijnn  16004  fprod2dlem  16154  fprodcom2  16158  rexpen  16403  crth  16962  phimullem  16963  prmreclem3  17103  gsumcom3fi  20200  ablfaclem3  20310  gsumdixp  20555  frlmbas3  22089  gsumbagdiag  22247  psrass1lem  22248  evlslem2  22395  mamudm  22717  mamufacex  22718  mamures  22719  mamucl  22723  mamudi  22725  mamudir  22726  mamuvs1  22727  mamuvs2  22728  matsca2  22742  matbas2  22743  matplusg2  22749  matvsca2  22750  matplusgcell  22755  matsubgcell  22756  matvscacell  22758  matgsum  22759  mamumat1cl  22761  mattposcl  22775  mdetrsca  22925  mdetunilem9  22942  matunitlindflem2  23002  matunitlindf  23003  pmatcoe1fsupp  23026  tsmsxplem1  24479  tsmsxplem2  24480  tsmsxp  24481  i1fadd  26023  i1fmul  26024  itg1addlem4  26027  fsumdvdsmul  27529  fsumvma  27547  lgsquadlem1  27714  lgsquadlem2  27715  lgsquadlem3  27716  madefi  28306  relfi  33245  fsumiunle  33468  elrgspnlem2  33852  matdim  34295  fedgmullem1  34309  fldextrspunlsplem  34353  sibfof  35020  hgt750lemb  35333  j0ltaleph  35949  erdszelem10  36053  poimirlem26  38671  poimirlem27  38672  poimirlem28  38673  cntotbnd  38837  aks6d1c2  43287  sticksstones22  43325  pellex  43949  mnringmulrcld  45333  fourierdlem42  47266  etransclem44  47395  etransclem45  47396  etransclem47  47398