Theorem xpfi 9215

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9214	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5755	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9093	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551   × cxp 5619  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7806  df-1o 8394  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  3xpfi  9216  fodomfir  9223  mapfi  9243  fsuppxpfi  9280  infxpenlem  9915  ficardadju  10102  ackbij1lem9  10129  ackbij1lem10  10130  hashxplem  14347  hashmap  14349  fsum2dlem  15684  fsumcom2  15688  ackbijnn  15742  fprod2dlem  15894  fprodcom2  15898  rexpen  16144  crth  16696  phimullem  16697  prmreclem3  16837  gsumcom3fi  19899  ablfaclem3  20009  gsumdixp  20245  frlmbas3  21722  gsumbagdiag  21878  psrass1lem  21879  evlslem2  22025  mamudm  22330  mamufacex  22331  mamures  22332  mamucl  22336  mamudi  22338  mamudir  22339  mamuvs1  22340  mamuvs2  22341  matsca2  22355  matbas2  22356  matplusg2  22362  matvsca2  22363  matplusgcell  22368  matsubgcell  22369  matvscacell  22371  matgsum  22372  mamumat1cl  22374  mattposcl  22388  mdetrsca  22538  mdetunilem9  22555  pmatcoe1fsupp  22636  tsmsxplem1  24088  tsmsxplem2  24089  tsmsxp  24090  i1fadd  25643  i1fmul  25644  itg1addlem4  25647  fsumdvdsmul  27152  fsumdvdsmulOLD  27154  fsumvma  27171  lgsquadlem1  27338  lgsquadlem2  27339  lgsquadlem3  27340  madefi  27878  relfi  32603  fsumiunle  32838  elrgspnlem2  33253  matdim  33700  fedgmullem1  33714  fldextrspunlsplem  33758  sibfof  34425  hgt750lemb  34741  erdszelem10  35316  matunitlindflem2  37730  matunitlindf  37731  poimirlem26  37759  poimirlem27  37760  poimirlem28  37761  cntotbnd  37909  aks6d1c2  42296  sticksstones22  42334  pellex  42992  mnringmulrcld  44385  fourierdlem42  46309  etransclem44  46438  etransclem45  46439  etransclem47  46441