Theorem xpfi 9245

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5315. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9244	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5763	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9114	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  3xpfi  9247  fodomfir  9255  mapfi  9275  fsuppxpfi  9312  infxpenlem  9942  ficardadju  10129  ackbij1lem9  10156  ackbij1lem10  10157  hashxplem  14374  hashmap  14376  fsum2dlem  15712  fsumcom2  15716  ackbijnn  15770  fprod2dlem  15922  fprodcom2  15926  rexpen  16172  crth  16724  phimullem  16725  prmreclem3  16865  gsumcom3fi  19885  ablfaclem3  19995  gsumdixp  20204  frlmbas3  21661  gsumbagdiag  21816  psrass1lem  21817  evlslem2  21962  mamudm  22258  mamufacex  22259  mamures  22260  mamucl  22264  mamudi  22266  mamudir  22267  mamuvs1  22268  mamuvs2  22269  matsca2  22283  matbas2  22284  matplusg2  22290  matvsca2  22291  matplusgcell  22296  matsubgcell  22297  matvscacell  22299  matgsum  22300  mamumat1cl  22302  mattposcl  22316  mdetrsca  22466  mdetunilem9  22483  pmatcoe1fsupp  22564  tsmsxplem1  24016  tsmsxplem2  24017  tsmsxp  24018  i1fadd  25572  i1fmul  25573  itg1addlem4  25576  fsumdvdsmul  27081  fsumdvdsmulOLD  27083  fsumvma  27100  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268  lgsquadlem3  27269  madefi  27800  relfi  32504  fsumiunle  32727  elrgspnlem2  33167  matdim  33584  fedgmullem1  33598  fldextrspunlsplem  33641  sibfof  34304  hgt750lemb  34620  erdszelem10  35160  matunitlindflem2  37584  matunitlindf  37585  poimirlem26  37613  poimirlem27  37614  poimirlem28  37615  cntotbnd  37763  aks6d1c2  42091  sticksstones22  42129  pellex  42796  mnringmulrcld  44190  fourierdlem42  46120  etransclem44  46249  etransclem45  46250  etransclem47  46252