Theorem xpfi 9335

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5340. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9334	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9334	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5793	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9192	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   × cxp 5657  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  3xpfi  9337  fodomfir  9345  mapfi  9365  fsuppxpfi  9402  infxpenlem  10032  ficardadju  10219  ackbij1lem9  10246  ackbij1lem10  10247  hashxplem  14456  hashmap  14458  fsum2dlem  15791  fsumcom2  15795  ackbijnn  15849  fprod2dlem  16001  fprodcom2  16005  rexpen  16251  crth  16802  phimullem  16803  prmreclem3  16943  gsumcom3fi  19965  ablfaclem3  20075  gsumdixp  20284  frlmbas3  21741  gsumbagdiag  21896  psrass1lem  21897  evlslem2  22042  mamudm  22338  mamufacex  22339  mamures  22340  mamucl  22344  mamudi  22346  mamudir  22347  mamuvs1  22348  mamuvs2  22349  matsca2  22363  matbas2  22364  matplusg2  22370  matvsca2  22371  matplusgcell  22376  matsubgcell  22377  matvscacell  22379  matgsum  22380  mamumat1cl  22382  mattposcl  22396  mdetrsca  22546  mdetunilem9  22563  pmatcoe1fsupp  22644  tsmsxplem1  24096  tsmsxplem2  24097  tsmsxp  24098  i1fadd  25653  i1fmul  25654  itg1addlem4  25657  fsumdvdsmul  27162  fsumdvdsmulOLD  27164  fsumvma  27181  lgsquadlem1  27348  lgsquadlem2  27349  lgsquadlem3  27350  madefi  27881  relfi  32588  fsumiunle  32813  elrgspnlem2  33243  matdim  33660  fedgmullem1  33674  fldextrspunlsplem  33719  sibfof  34377  hgt750lemb  34693  erdszelem10  35227  matunitlindflem2  37646  matunitlindf  37647  poimirlem26  37675  poimirlem27  37676  poimirlem28  37677  cntotbnd  37825  aks6d1c2  42148  sticksstones22  42186  pellex  42825  mnringmulrcld  44219  fourierdlem42  46145  etransclem44  46274  etransclem45  46275  etransclem47  46277