Theorem xpfi 9386

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5383. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9385	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5833	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9240	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  3xpfi  9388  fodomfir  9396  mapfi  9418  fsuppxpfi  9454  infxpenlem  10082  ficardadju  10269  ackbij1lem9  10296  ackbij1lem10  10297  hashxplem  14482  hashmap  14484  fsum2dlem  15818  fsumcom2  15822  ackbijnn  15876  fprod2dlem  16028  fprodcom2  16032  rexpen  16276  crth  16825  phimullem  16826  prmreclem3  16965  gsumcom3fi  20021  ablfaclem3  20131  gsumdixp  20342  frlmbas3  21819  gsumbagdiag  21974  psrass1lem  21975  evlslem2  22126  mamudm  22420  mamufacex  22421  mamures  22422  mamucl  22426  mamudi  22428  mamudir  22429  mamuvs1  22430  mamuvs2  22431  matsca2  22447  matbas2  22448  matplusg2  22454  matvsca2  22455  matplusgcell  22460  matsubgcell  22461  matvscacell  22463  matgsum  22464  mamumat1cl  22466  mattposcl  22480  mdetrsca  22630  mdetunilem9  22647  pmatcoe1fsupp  22728  tsmsxplem1  24182  tsmsxplem2  24183  tsmsxp  24184  i1fadd  25749  i1fmul  25750  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  fsumdvdsmul  27256  fsumdvdsmulOLD  27258  fsumvma  27275  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  madefi  27968  relfi  32624  fsumiunle  32833  matdim  33628  fedgmullem1  33642  sibfof  34305  hgt750lemb  34633  erdszelem10  35168  matunitlindflem2  37577  matunitlindf  37578  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  cntotbnd  37756  aks6d1c2  42087  sticksstones22  42125  pellex  42791  mnringmulrcld  44197  fourierdlem42  46070  etransclem44  46199  etransclem45  46200  etransclem47  46202