Theorem xpfi 9349

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5334. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9348	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5796	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9226	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  𝒫 cpw 4560   × cxp 5656  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015

This theorem is used by:  3xpfi  9350  fodomfir  9357  mapfi  9375  fsuppxpfi  9414  infxpenlem  10131  ficardadju  10317  ackbij1lem9  10344  ackbij1lem10  10345  hashxplem  14619  hashmap  14621  fsum2dlem  15980  fsumcom2  15984  ackbijnn  16041  fprod2dlem  16191  fprodcom2  16195  rexpen  16440  crth  16999  phimullem  17000  prmreclem3  17140  gsumcom3fi  20244  ablfaclem3  20354  gsumdixp  20599  frlmbas3  22137  gsumbagdiag  22295  psrass1lem  22296  evlslem2  22443  mamudm  22765  mamufacex  22766  mamures  22767  mamucl  22771  mamudi  22773  mamudir  22774  mamuvs1  22775  mamuvs2  22776  matsca2  22790  matbas2  22791  matplusg2  22797  matvsca2  22798  matplusgcell  22803  matsubgcell  22804  matvscacell  22806  matgsum  22807  mamumat1cl  22809  mattposcl  22823  mdetrsca  22973  mdetunilem9  22990  matunitlindflem2  23050  matunitlindf  23051  pmatcoe1fsupp  23074  tsmsxplem1  24527  tsmsxplem2  24528  tsmsxp  24529  i1fadd  26071  i1fmul  26072  itg1addlem4  26075  fsumdvdsmul  27579  fsumvma  27597  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  lgsquadlem3  27766  madefi  28356  relfi  33294  fsumiunle  33516  elrgspnlem2  33903  matdim  34358  fedgmullem1  34372  fldextrspunlsplem  34416  sibfof  35083  hgt750lemb  35396  j0ltaleph  36049  erdszelem10  36173  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem28  38834  cntotbnd  38996  aks6d1c2  43446  sticksstones22  43484  pellex  44108  mnringmulrcld  45487  fourierdlem42  47432  etransclem44  47561  etransclem45  47562  etransclem47  47564