Theorem xpfi 9267

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5326. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9266	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5786	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9145	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   × cxp 5649  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  3xpfi  9268  fodomfir  9275  mapfi  9293  fsuppxpfi  9333  infxpenlem  9985  ficardadju  10171  ackbij1lem9  10198  ackbij1lem10  10199  hashxplem  14458  hashmap  14460  fsum2dlem  15809  fsumcom2  15813  ackbijnn  15870  fprod2dlem  16022  fprodcom2  16026  rexpen  16272  crth  16825  phimullem  16826  prmreclem3  16966  gsumcom3fi  20037  ablfaclem3  20147  gsumdixp  20388  frlmbas3  21883  gsumbagdiag  22039  psrass1lem  22040  evlslem2  22187  mamudm  22509  mamufacex  22510  mamures  22511  mamucl  22515  mamudi  22517  mamudir  22518  mamuvs1  22519  mamuvs2  22520  matsca2  22534  matbas2  22535  matplusg2  22541  matvsca2  22542  matplusgcell  22547  matsubgcell  22548  matvscacell  22550  matgsum  22551  mamumat1cl  22553  mattposcl  22567  mdetrsca  22717  mdetunilem9  22734  pmatcoe1fsupp  22815  tsmsxplem1  24267  tsmsxplem2  24268  tsmsxp  24269  i1fadd  25811  i1fmul  25812  itg1addlem4  25815  fsumdvdsmul  27313  fsumvma  27331  lgsquadlem1  27498  lgsquadlem2  27499  lgsquadlem3  27500  madefi  28060  relfi  32853  fsumiunle  33081  elrgspnlem2  33471  matdim  33917  fedgmullem1  33931  fldextrspunlsplem  33975  sibfof  34642  hgt750lemb  34955  erdszelem10  35558  matunitlindflem2  38123  matunitlindf  38124  poimirlem26  38152  poimirlem27  38153  poimirlem28  38154  cntotbnd  38302  aks6d1c2  42754  sticksstones22  42792  pellex  43419  mnringmulrcld  44811  fourierdlem42  46722  etransclem44  46851  etransclem45  46852  etransclem47  46854