Theorem xpfi 9223

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5302. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9222	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5758	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9100	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   × cxp 5622  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  3xpfi  9224  fodomfir  9231  mapfi  9251  fsuppxpfi  9291  infxpenlem  9926  ficardadju  10113  ackbij1lem9  10140  ackbij1lem10  10141  hashxplem  14386  hashmap  14388  fsum2dlem  15723  fsumcom2  15727  ackbijnn  15784  fprod2dlem  15936  fprodcom2  15940  rexpen  16186  crth  16739  phimullem  16740  prmreclem3  16880  gsumcom3fi  19945  ablfaclem3  20055  gsumdixp  20289  frlmbas3  21766  gsumbagdiag  21921  psrass1lem  21922  evlslem2  22067  mamudm  22370  mamufacex  22371  mamures  22372  mamucl  22376  mamudi  22378  mamudir  22379  mamuvs1  22380  mamuvs2  22381  matsca2  22395  matbas2  22396  matplusg2  22402  matvsca2  22403  matplusgcell  22408  matsubgcell  22409  matvscacell  22411  matgsum  22412  mamumat1cl  22414  mattposcl  22428  mdetrsca  22578  mdetunilem9  22595  pmatcoe1fsupp  22676  tsmsxplem1  24128  tsmsxplem2  24129  tsmsxp  24130  i1fadd  25672  i1fmul  25673  itg1addlem4  25676  fsumdvdsmul  27172  fsumvma  27190  lgsquadlem1  27357  lgsquadlem2  27358  lgsquadlem3  27359  madefi  27919  relfi  32687  fsumiunle  32917  elrgspnlem2  33319  matdim  33775  fedgmullem1  33789  fldextrspunlsplem  33833  sibfof  34500  hgt750lemb  34816  erdszelem10  35398  matunitlindflem2  37952  matunitlindf  37953  poimirlem26  37981  poimirlem27  37982  poimirlem28  37983  cntotbnd  38131  aks6d1c2  42583  sticksstones22  42621  pellex  43281  mnringmulrcld  44673  fourierdlem42  46595  etransclem44  46724  etransclem45  46725  etransclem47  46727