Theorem xpfi 9358

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9357	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5819	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9213	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  3xpfi  9360  fodomfir  9368  mapfi  9388  fsuppxpfi  9425  infxpenlem  10053  ficardadju  10240  ackbij1lem9  10267  ackbij1lem10  10268  hashxplem  14472  hashmap  14474  fsum2dlem  15806  fsumcom2  15810  ackbijnn  15864  fprod2dlem  16016  fprodcom2  16020  rexpen  16264  crth  16815  phimullem  16816  prmreclem3  16956  gsumcom3fi  19997  ablfaclem3  20107  gsumdixp  20316  frlmbas3  21796  gsumbagdiag  21951  psrass1lem  21952  evlslem2  22103  mamudm  22399  mamufacex  22400  mamures  22401  mamucl  22405  mamudi  22407  mamudir  22408  mamuvs1  22409  mamuvs2  22410  matsca2  22426  matbas2  22427  matplusg2  22433  matvsca2  22434  matplusgcell  22439  matsubgcell  22440  matvscacell  22442  matgsum  22443  mamumat1cl  22445  mattposcl  22459  mdetrsca  22609  mdetunilem9  22626  pmatcoe1fsupp  22707  tsmsxplem1  24161  tsmsxplem2  24162  tsmsxp  24163  i1fadd  25730  i1fmul  25731  itg1addlem4  25734  fsumdvdsmul  27238  fsumdvdsmulOLD  27240  fsumvma  27257  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  lgsquadlem3  27426  madefi  27950  relfi  32615  fsumiunle  32831  elrgspnlem2  33247  matdim  33666  fedgmullem1  33680  fldextrspunlsplem  33723  sibfof  34342  hgt750lemb  34671  erdszelem10  35205  matunitlindflem2  37624  matunitlindf  37625  poimirlem26  37653  poimirlem27  37654  poimirlem28  37655  cntotbnd  37803  aks6d1c2  42131  sticksstones22  42169  pellex  42846  mnringmulrcld  44247  fourierdlem42  46164  etransclem44  46293  etransclem45  46294  etransclem47  46296