Theorem xpfi 9314

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5363. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9169	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9175	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5808	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9170	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   × cxp 5674  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7853  df-1o 8463  df-en 8937  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  3xpfi  9316  mapfi  9345  fsuppxpfi  9377  infxpenlem  10005  ficardadju  10191  ackbij1lem9  10220  ackbij1lem10  10221  hashxplem  14390  hashmap  14392  fsum2dlem  15713  fsumcom2  15717  ackbijnn  15771  fprod2dlem  15921  fprodcom2  15925  rexpen  16168  crth  16708  phimullem  16709  prmreclem3  16848  gsumcom3fi  19842  ablfaclem3  19952  gsumdixp  20125  frlmbas3  21323  gsumbagdiagOLD  21484  psrass1lemOLD  21485  gsumbagdiag  21487  psrass1lem  21488  evlslem2  21634  mamudm  21882  mamufacex  21883  mamures  21884  mamucl  21893  mamudi  21895  mamudir  21896  mamuvs1  21897  mamuvs2  21898  matsca2  21914  matbas2  21915  matplusg2  21921  matvsca2  21922  matplusgcell  21927  matsubgcell  21928  matvscacell  21930  matgsum  21931  mamumat1cl  21933  mattposcl  21947  mdetrsca  22097  mdetunilem9  22114  pmatcoe1fsupp  22195  tsmsxplem1  23649  tsmsxplem2  23650  tsmsxp  23651  i1fadd  25204  i1fmul  25205  itg1addlem4  25208  itg1addlem4OLD  25209  fsumdvdsmul  26689  fsumvma  26706  lgsquadlem1  26873  lgsquadlem2  26874  lgsquadlem3  26875  relfi  31821  fsumiunle  32023  matdim  32689  fedgmullem1  32703  sibfof  33328  hgt750lemb  33657  erdszelem10  34180  matunitlindflem2  36474  matunitlindf  36475  poimirlem26  36503  poimirlem27  36504  poimirlem28  36505  cntotbnd  36653  sticksstones22  40973  pellex  41559  mnringmulrcld  42973  fourierdlem42  44852  etransclem44  44981  etransclem45  44982  etransclem47  44984