Theorem xpfi 9286

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5338. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9285	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5798	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9164	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564   × cxp 5661  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953

This theorem is used by:  3xpfi  9287  fodomfir  9294  mapfi  9312  fsuppxpfi  9352  infxpenlem  10013  ficardadju  10199  ackbij1lem9  10226  ackbij1lem10  10227  hashxplem  14488  hashmap  14490  fsum2dlem  15844  fsumcom2  15848  ackbijnn  15905  fprod2dlem  16057  fprodcom2  16061  rexpen  16306  crth  16859  phimullem  16860  prmreclem3  17000  gsumcom3fi  20093  ablfaclem3  20203  gsumdixp  20446  frlmbas3  21976  gsumbagdiag  22132  psrass1lem  22133  evlslem2  22280  mamudm  22602  mamufacex  22603  mamures  22604  mamucl  22608  mamudi  22610  mamudir  22611  mamuvs1  22612  mamuvs2  22613  matsca2  22627  matbas2  22628  matplusg2  22634  matvsca2  22635  matplusgcell  22640  matsubgcell  22641  matvscacell  22643  matgsum  22644  mamumat1cl  22646  mattposcl  22660  mdetrsca  22810  mdetunilem9  22827  pmatcoe1fsupp  22908  tsmsxplem1  24361  tsmsxplem2  24362  tsmsxp  24363  i1fadd  25905  i1fmul  25906  itg1addlem4  25909  fsumdvdsmul  27410  fsumvma  27428  lgsquadlem1  27595  lgsquadlem2  27596  lgsquadlem3  27597  madefi  28157  relfi  33018  fsumiunle  33243  elrgspnlem2  33627  matdim  34069  fedgmullem1  34083  fldextrspunlsplem  34127  sibfof  34795  hgt750lemb  35108  erdszelem10  35729  matunitlindflem2  38325  matunitlindf  38326  poimirlem26  38354  poimirlem27  38355  poimirlem28  38356  cntotbnd  38505  aks6d1c2  42955  sticksstones22  42993  pellex  43620  mnringmulrcld  45010  fourierdlem42  46921  etransclem44  47050  etransclem45  47051  etransclem47  47053