Theorem xpfi 9275

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5336. (Revised by BTernaryTau, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		pwfi 9274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
3		pwfi 9274	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5	1, 4	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
6		xpsspw 5796	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
7		ssfi 9153	. 2 ⊢ ((𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   × cxp 5659  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  3xpfi  9276  fodomfir  9283  mapfi  9301  fsuppxpfi  9341  infxpenlem  9993  ficardadju  10179  ackbij1lem9  10206  ackbij1lem10  10207  hashxplem  14466  hashmap  14468  fsum2dlem  15817  fsumcom2  15821  ackbijnn  15878  fprod2dlem  16030  fprodcom2  16034  rexpen  16279  crth  16832  phimullem  16833  prmreclem3  16973  gsumcom3fi  20044  ablfaclem3  20154  gsumdixp  20396  frlmbas3  21926  gsumbagdiag  22082  psrass1lem  22083  evlslem2  22230  mamudm  22552  mamufacex  22553  mamures  22554  mamucl  22558  mamudi  22560  mamudir  22561  mamuvs1  22562  mamuvs2  22563  matsca2  22577  matbas2  22578  matplusg2  22584  matvsca2  22585  matplusgcell  22590  matsubgcell  22591  matvscacell  22593  matgsum  22594  mamumat1cl  22596  mattposcl  22610  mdetrsca  22760  mdetunilem9  22777  pmatcoe1fsupp  22858  tsmsxplem1  24310  tsmsxplem2  24311  tsmsxp  24312  i1fadd  25854  i1fmul  25855  itg1addlem4  25858  fsumdvdsmul  27359  fsumvma  27377  lgsquadlem1  27544  lgsquadlem2  27545  lgsquadlem3  27546  madefi  28106  relfi  32947  fsumiunle  33173  elrgspnlem2  33563  matdim  34005  fedgmullem1  34019  fldextrspunlsplem  34063  sibfof  34730  hgt750lemb  35043  erdszelem10  35692  matunitlindflem2  38268  matunitlindf  38269  poimirlem26  38297  poimirlem27  38298  poimirlem28  38299  cntotbnd  38447  aks6d1c2  42897  sticksstones22  42935  pellex  43562  mnringmulrcld  44952  fourierdlem42  46863  etransclem44  46992  etransclem45  46993  etransclem47  46995