MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrglem 21410
Description: Lemma for mplsubrg 21411. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubrglem.p 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t · = (.r𝑅)
mplsubrglem.x (𝜑𝑋𝑈)
mplsubrglem.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2736 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4 mpllss.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mplsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplsubg.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
75, 1, 6, 2mplbasss 21403 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8 mplsubrglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
97, 8sselid 3942 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10 mplsubrglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
117, 10sselid 3942 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 21356 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13 ovexd 7392 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V)
141, 2psrelbasfun 21348 . . . 4 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
16 mplsubrglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1716fvexi 6856 . . . 4 0 ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
19 mplsubrglem.p . . . . 5 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
20 df-ima 5646 . . . . 5 ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
2119, 20eqtri 2764 . . . 4 𝐴 = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
225, 1, 2, 16, 6mplelbas 21399 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
2322simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 finSupp 0 )
248, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
255, 1, 2, 16, 6mplelbas 21399 . . . . . . . 8 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
2625simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑌𝑈𝑌 finSupp 0 )
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 finSupp 0 )
28 fsuppxpfi 9322 . . . . . 6 ((𝑋 finSupp 0𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
2924, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30 ofmres 7917 . . . . . . 7 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓f + 𝑔))
31 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑓f + 𝑔) ∈ V
3230, 31fnmpoi 8002 . . . . . 6 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
33 dffn4 6762 . . . . . 6 (( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
3432, 33mpbi 229 . . . . 5 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
35 fofi 9282 . . . . 5 ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3629, 34, 35sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3721, 36eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
38 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39 mplsubrglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
401, 38, 39, 2, 12psrelbas 21347 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41 mplsubrglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
429adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
4311adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
44 eldifi 4086 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐷𝐴) → 𝑘𝐷)
4544adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑘𝐷)
461, 2, 41, 3, 39, 42, 43, 45psrmulval 21354 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))))
474ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
485, 38, 6, 39, 10mplelf 21404 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
5145adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5439, 53psrbagconcl 21336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
5551, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
5650, 55sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
5749, 56ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
5838, 41, 16ringlz 20011 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
5947, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
60 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))
6160eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
6259, 61syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
635, 38, 6, 39, 8mplelf 21404 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6550, 52sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
6664, 65ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
6738, 41, 16ringrz 20012 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
6847, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
69 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ((𝑋𝑥) · 0 ))
7069eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 ))
7168, 70syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
7239psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7365, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7473ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
7539psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7651, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7776ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
78 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
79 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
80 pncan3 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8178, 79, 80syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8274, 77, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8382mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
84 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼𝑊)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼𝑊)
86 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V)
8773feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
8876feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
8985, 77, 74, 88, 87offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))))
9085, 74, 86, 87, 89offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))))
9183, 90, 883eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) = 𝑘)
92 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷𝐴))
9391, 92eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ (𝐷𝐴))
9493eldifbd 3923 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ¬ (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
95 ovres 7520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) = (𝑥f + (𝑘f𝑥)))
96 fnovrn 7529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
9796, 21eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
9832, 97mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
9995, 98eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
10094, 99nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
101 ianor 980 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
104103baib 536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
10565, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
107 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
10839, 107rabex2 5291 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
11017a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 0 ∈ V)
11164, 106, 109, 110suppssr 8127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋𝑥) = 0 )
112111ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋𝑥) = 0 ))
113105, 112sylbird 259 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋𝑥) = 0 ))
114 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
115114baib 536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
11656, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
11849, 117, 109, 110suppssr 8127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 )
119118ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
120116, 119sylbird 259 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
121113, 120orim12d 963 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 )))
122102, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
12362, 71, 122mpjaod 858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
124123mpteq2dva 5205 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 ))
125124oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )))
1264adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
127 ringmnd 19974 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
128126, 127syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
12939psrbaglefi 21334 . . . . . . 7 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
13045, 129syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
13116gsumz 18646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
132128, 130, 131syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
13346, 125, 1323eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
13440, 133suppss 8125 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
135 suppssfifsupp 9320 . . 3 ((((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
13613, 15, 18, 37, 134, 135syl32anc 1378 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
1375, 1, 2, 16, 6mplelbas 21399 . 2 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
13812, 136, 137sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  r cofr 7616   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  cc 11049   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Ringcrg 19964   mPwSer cmps 21306   mPoly cmpl 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-tset 17152  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-psr 21311  df-mpl 21313
This theorem is referenced by:  mplsubrg  21411
  Copyright terms: Public domain W3C validator