Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrglem 19836
 Description: Lemma for mplsubrg 19837. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubrglem.p 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t · = (.r𝑅)
mplsubrglem.x (𝜑𝑋𝑈)
mplsubrglem.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2778 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4 mpllss.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mplsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplsubg.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
75, 1, 6, 2mplbasss 19829 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8 mplsubrglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
97, 8sseldi 3819 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10 mplsubrglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
117, 10sseldi 3819 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 19785 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13 ovexd 6956 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V)
141, 2psrelbasfun 19777 . . . 4 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
16 mplsubrglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1716fvexi 6460 . . . 4 0 ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
19 mplsubrglem.p . . . . 5 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
20 df-ima 5368 . . . . 5 ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
2119, 20eqtri 2802 . . . 4 𝐴 = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
225, 1, 2, 16, 6mplelbas 19827 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
2322simprbi 492 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 finSupp 0 )
248, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
255, 1, 2, 16, 6mplelbas 19827 . . . . . . . 8 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
2625simprbi 492 . . . . . . 7 (𝑌𝑈𝑌 finSupp 0 )
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 finSupp 0 )
28 fsuppxpfi 8580 . . . . . 6 ((𝑋 finSupp 0𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
2924, 27, 28syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30 ofmres 7441 . . . . . . 7 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓𝑓 + 𝑔))
31 ovex 6954 . . . . . . 7 (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ V
3230, 31fnmpt2i 7519 . . . . . 6 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
33 dffn4 6372 . . . . . 6 (( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
3432, 33mpbi 222 . . . . 5 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
35 fofi 8540 . . . . 5 ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3629, 34, 35sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3721, 36syl5eqel 2863 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
38 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39 mplsubrglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
401, 38, 39, 2, 12psrelbas 19776 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41 mplsubrglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
429adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
4311adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
44 eldifi 3955 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐷𝐴) → 𝑘𝐷)
4544adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑘𝐷)
461, 2, 41, 3, 39, 42, 43, 45psrmulval 19783 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
474ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
485, 38, 6, 39, 10mplelf 19830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4948ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50 ssrab2 3908 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
51 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑊)
5251ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑊)
5345adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
54 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
55 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
5639, 55psrbagconcl 19770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
5752, 53, 54, 56syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
5850, 57sseldi 3819 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
5949, 58ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
6038, 41, 16ringlz 18974 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
6147, 59, 60syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
62 oveq1 6929 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
6362eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
6461, 63syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
655, 38, 6, 39, 8mplelf 19830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6665ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6750, 54sseldi 3819 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
6866, 67ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
6938, 41, 16ringrz 18975 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
7047, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
71 oveq2 6930 . . . . . . . . . 10 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥) · 0 ))
7271eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 ))
7370, 72syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
7439psrbagf 19762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7552, 67, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7675ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
7739psrbagf 19762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7852, 53, 77syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7978ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
80 nn0cn 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
81 nn0cn 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
82 pncan3 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8380, 81, 82syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8476, 79, 83syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8584mpteq2dva 4979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
86 ovexd 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V)
8775feqmptd 6509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
8878feqmptd 6509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
8952, 79, 76, 88, 87offval2 7191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))))
9052, 76, 86, 87, 89offval2 7191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))))
9185, 90, 883eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = 𝑘)
92 simplr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷𝐴))
9391, 92eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ (𝐷𝐴))
9493eldifbd 3805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
95 ovres 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)))
96 fnovrn 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
9796, 21syl6eleqr 2870 . . . . . . . . . . . . 13 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
9832, 97mp3an1 1521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
9995, 98eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10094, 99nsyl 138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
101 ianor 967 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102100, 101sylib 210 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103 eldif 3802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
104103baib 531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
10567, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106 ssidd 3843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
107 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
10839, 107rabex2 5051 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
11017a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 0 ∈ V)
11166, 106, 109, 110suppssr 7608 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋𝑥) = 0 )
112111ex 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋𝑥) = 0 ))
113105, 112sylbird 252 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋𝑥) = 0 ))
114 eldif 3802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
115114baib 531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
11658, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117 ssidd 3843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
11849, 117, 109, 110suppssr 7608 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )
119118ex 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
120116, 119sylbird 252 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
121113, 120orim12d 950 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )))
122102, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
12364, 73, 122mpjaod 849 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
124123mpteq2dva 4979 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 ))
125124oveq2d 6938 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )))
1264adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
127 ringmnd 18943 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
128126, 127syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
12939psrbaglefi 19769 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13051, 44, 129syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13116gsumz 17760 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
132128, 130, 131syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
13346, 125, 1323eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
13440, 133suppss 7607 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
135 suppssfifsupp 8578 . . 3 ((((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
13613, 15, 18, 37, 134, 135syl32anc 1446 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
1375, 1, 2, 16, 6mplelbas 19827 . 2 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
13812, 136, 137sylanbrc 578 1 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  ◡ccnv 5354  ran crn 5356   ↾ cres 5357   “ cima 5358  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  –onto→wfo 6133  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   ∘𝑟 cofr 7173   supp csupp 7576   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  ℂcc 10270   + caddc 10275   ≤ cle 10412   − cmin 10606  ℕcn 11374  ℕ0cn0 11642  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  Mndcmnd 17680  Ringcrg 18934   mPwSer cmps 19748   mPoly cmpl 19750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-psr 19753  df-mpl 19755 This theorem is referenced by:  mplsubrg  19837
 Copyright terms: Public domain W3C validator