Theorem mplsubrglem 21939

Description: Lemma for mplsubrg 21940. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplsubrglem.p	⊢ 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplsubrglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubrglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
4		mpllss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 21932	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8		mplsubrglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10		mplsubrglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	7, 10	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 21881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V)
14	1, 2	psrelbasfun 21870	. . . 4 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
16		mplsubrglem.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	16	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19		mplsubrglem.p	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
20		df-ima 5629	. . . . 5 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
21	19, 20	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
22	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 21926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
23	22	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 finSupp 0 )
24	8, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
25	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 21926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
26	25	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 finSupp 0 )
27	10, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 finSupp 0 )
28		fsuppxpfi 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 finSupp 0 ∧ 𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
29	24, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30		ofmres 7916	. . . . . . 7 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓 ∘f + 𝑔))
31		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
32	30, 31	fnmpoi 8002	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
33		dffn4 6741	. . . . . 6 ⊢ (( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
34	32, 33	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
35		fofi 9197	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
36	29, 34, 35	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
37	21, 36	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
38		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39		mplsubrglem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
40	1, 38, 39, 2, 12	psrelbas 21869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41		mplsubrglem.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
43	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
44		eldifi 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐷)
45	44	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐷)
46	1, 2, 41, 3, 39, 42, 43, 45	psrmulval 21879	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
47	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
48	5, 38, 6, 39, 10	mplelf 21933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		ssrab2 4030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
51	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
53		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
54	39, 53	psrbagconcl 21862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
55	51, 52, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
56	50, 55	sselid 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
57	49, 56	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
58	38, 41, 16	ringlz 20209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
59	47, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
60		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
61	60	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
62	59, 61	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
63	5, 38, 6, 39, 8	mplelf 21933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
65	50, 52	sselid 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
66	64, 65	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
67	38, 41, 16	ringrz 20210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
68	47, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
69		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝑋‘𝑥) · 0 ))
70	69	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 ))
71	68, 70	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
72	39	psrbagf 21853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
73	65, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
74	73	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
75	39	psrbagf 21853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
76	51, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
77	76	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
79		nn0cn 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ)
80		pncan3 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
81	78, 79, 80	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
82	74, 77, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
83	82	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
84		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
85	84	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
86		ovexd 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ∈ V)
87	73	feqmptd 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑛)))
88	76	feqmptd 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
89	85, 77, 74, 88, 87	offval2 7630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
90	85, 74, 86, 87, 89	offval2 7630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))))
91	83, 90, 88	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) = 𝑘)
92		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
93	91, 92	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
94	93	eldifbd 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
95		ovres 7512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)))
96		fnovrn 7521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
97	96, 21	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
98	32, 97	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
99	95, 98	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
100	94, 99	nsyl 140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
101		ianor 983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102	100, 101	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103		eldif 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
104	103	baib 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
105	65, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106		ssidd 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
107		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
108	39, 107	rabex2 5279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ V
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
110	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 0 ∈ V)
111	64, 106, 109, 110	suppssr 8125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋‘𝑥) = 0 )
112	111	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
113	105, 112	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
114		eldif 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
115	114	baib 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
116	56, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117		ssidd 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
118	49, 117, 109, 110	suppssr 8125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 )
119	118	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
120	116, 119	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
121	113, 120	orim12d 966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 )))
122	102, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
123	62, 71, 122	mpjaod 860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
124	123	mpteq2dva 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 ))
125	124	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )))
126	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
127		ringmnd 20159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
128	126, 127	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
129	39	psrbaglefi 21861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
130	45, 129	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
131	16	gsumz 18741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
132	128, 130, 131	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
133	46, 125, 132	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
134	40, 133	suppss 8124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
135		suppssfifsupp 9264	. . 3 ⊢ ((((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
136	13, 15, 18, 37, 134, 135	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
137	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 21926	. 2 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
138	12, 136, 137	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  ran crn 5617   ↾ cres 5618   “ cima 5619  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ∘_r cofr 7609   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  ℂcc 11001   + caddc 11006   ≤ cle 11144   − cmin 11341  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  0_gc0g 17340   Σ_g cgsu 17341  Mndcmnd 18639  Ringcrg 20149   mPwSer cmps 21839   mPoly cmpl 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-tset 17177  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-psr 21844  df-mpl 21846

This theorem is referenced by:  mplsubrg  21940