MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrglem 21874
Description: Lemma for mplsubrg 21875. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubrglem.p 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t · = (.r𝑅)
mplsubrglem.x (𝜑𝑋𝑈)
mplsubrglem.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2731 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4 mpllss.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mplsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplsubg.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
75, 1, 6, 2mplbasss 21867 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8 mplsubrglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
97, 8sselid 3980 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10 mplsubrglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
117, 10sselid 3980 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 21818 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13 ovexd 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V)
141, 2psrelbasfun 21809 . . . 4 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
16 mplsubrglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1716fvexi 6905 . . . 4 0 ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
19 mplsubrglem.p . . . . 5 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
20 df-ima 5689 . . . . 5 ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
2119, 20eqtri 2759 . . . 4 𝐴 = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
225, 1, 2, 16, 6mplelbas 21861 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
2322simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 finSupp 0 )
248, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
255, 1, 2, 16, 6mplelbas 21861 . . . . . . . 8 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
2625simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑌𝑈𝑌 finSupp 0 )
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 finSupp 0 )
28 fsuppxpfi 9386 . . . . . 6 ((𝑋 finSupp 0𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
2924, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30 ofmres 7975 . . . . . . 7 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓f + 𝑔))
31 ovex 7445 . . . . . . 7 (𝑓f + 𝑔) ∈ V
3230, 31fnmpoi 8060 . . . . . 6 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
33 dffn4 6811 . . . . . 6 (( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
3432, 33mpbi 229 . . . . 5 ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
35 fofi 9344 . . . . 5 ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3629, 34, 35sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3721, 36eqeltrid 2836 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
38 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39 mplsubrglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
401, 38, 39, 2, 12psrelbas 21808 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41 mplsubrglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
429adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
4311adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
44 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐷𝐴) → 𝑘𝐷)
4544adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑘𝐷)
461, 2, 41, 3, 39, 42, 43, 45psrmulval 21816 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))))
474ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
485, 38, 6, 39, 10mplelf 21868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
5145adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
53 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5439, 53psrbagconcl 21797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
5551, 52, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
5650, 55sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
5749, 56ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
5838, 41, 16ringlz 20188 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
5947, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
60 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))
6160eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
6259, 61syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
635, 38, 6, 39, 8mplelf 21868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6550, 52sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
6664, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
6738, 41, 16ringrz 20189 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
6847, 66, 67syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
69 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ((𝑋𝑥) · 0 ))
7069eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 ))
7168, 70syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 ))
7239psrbagf 21781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7365, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7473ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
7539psrbagf 21781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7651, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7776ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
78 nn0cn 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
79 nn0cn 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
80 pncan3 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8178, 79, 80syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8274, 77, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8382mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
84 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼𝑊)
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼𝑊)
86 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V)
8773feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
8876feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
8985, 77, 74, 88, 87offval2 7694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))))
9085, 74, 86, 87, 89offval2 7694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))))
9183, 90, 883eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) = 𝑘)
92 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷𝐴))
9391, 92eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ (𝐷𝐴))
9493eldifbd 3961 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ¬ (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
95 ovres 7577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) = (𝑥f + (𝑘f𝑥)))
96 fnovrn 7586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
9796, 21eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
9832, 97mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
9995, 98eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥f + (𝑘f𝑥)) ∈ 𝐴)
10094, 99nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
101 ianor 979 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
104103baib 535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
10565, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
107 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
10839, 107rabex2 5334 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
11017a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 0 ∈ V)
11164, 106, 109, 110suppssr 8186 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋𝑥) = 0 )
112111ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋𝑥) = 0 ))
113105, 112sylbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋𝑥) = 0 ))
114 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
115114baib 535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
11656, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
11849, 117, 109, 110suppssr 8186 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 )
119118ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
120116, 119sylbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
121113, 120orim12d 962 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘f𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 )))
122102, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = 0 ))
12362, 71, 122mpjaod 857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))) = 0 )
124123mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 ))
125124oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )))
1264adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
127 ringmnd 20144 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
128126, 127syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
12939psrbaglefi 21795 . . . . . . 7 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
13045, 129syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
13116gsumz 18759 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
132128, 130, 131syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
13346, 125, 1323eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
13440, 133suppss 8184 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
135 suppssfifsupp 9384 . . 3 ((((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
13613, 15, 18, 37, 134, 135syl32anc 1377 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
1375, 1, 2, 16, 6mplelbas 21861 . 2 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
13812, 136, 137sylanbrc 582 1 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  ccnv 5675  ran crn 5677  cres 5678  cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  r cofr 7673   supp csupp 8151  m cmap 8826  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367  cc 11114   + caddc 11119  cle 11256  cmin 11451  cn 12219  0cn0 12479  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  Mndcmnd 18665  Ringcrg 20134   mPwSer cmps 21767   mPoly cmpl 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-psr 21772  df-mpl 21774
This theorem is referenced by:  mplsubrg  21875
  Copyright terms: Public domain W3C validator