Theorem fsuppsssupp 9337

Description: If the support of a function is a subset of the support of a finitely supported function, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Proof shortened by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppsssupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		simplr 780	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → Fun 𝐺)
3		relfsupp 9319	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
4	3	brrelex2i 5718	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
5	4	ad2antrl 740	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝑍 ∈ V)
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 finSupp 𝑍)
7	6	fsuppimpd 9325	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
8	7	anim1i 626	. . 3 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
9	8	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
10		suppssfifsupp 9336	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
11	1, 2, 5, 9, 10	syl31anc 1400	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  Fun wfun 6530  (class class class)co 7410   supp csupp 8152  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9318

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9654  dprdfinv  20086  dmdprdsplitlem  20104  dpjidcl  20125  frlmphllem  21930  frlmphl  21931  rrxcph  25551  tdeglem4  26217  elrspunidl  33736