Theorem fsuppsssupp 9271

Description: If the support of a function is a subset of the support of a finitely supported function, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Proof shortened by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppsssupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → Fun 𝐺)
3		relfsupp 9253	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
4	3	brrelex2i 5676	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
5	4	ad2antrl 728	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝑍 ∈ V)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 finSupp 𝑍)
7	6	fsuppimpd 9259	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
8	7	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
10		suppssfifsupp 9270	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
11	1, 2, 5, 9, 10	syl31anc 1375	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  Fun wfun 6476  (class class class)co 7349   supp csupp 8093  Fincfn 8872   finSupp cfsupp 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-fin 8876  df-fsupp 9252

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9585  dprdfinv  19900  dmdprdsplitlem  19918  dpjidcl  19939  frlmphllem  21687  frlmphl  21688  rrxcph  25290  tdeglem4  25963  elrspunidl  33365