Theorem cvmliftlem13 35283

Description: Lemma for cvmlift 35286. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem13	⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 35282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16		iiuni 24774	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
17	16, 2	cnf 23133	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19	18	ffund 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐾)
20		nnuz 12836	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	8, 20	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13492	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘1))
25	24	ssiun2s 5012	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
26	23, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
27	26, 13	sseqtrrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28		0xr 11221	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	8	nnrecred 12237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		0le1 11701	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
35	8	nnred 12201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	8	nngt0d 12235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		divge0 12052	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
38	32, 34, 35, 36, 37	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39		lbicc2 13425	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
40	29, 31, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41		1m1e0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
42	41	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
43	8	nncnd 12202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	8	nnne0d 12236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	div0d 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
46	42, 45	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
47	46	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
48	40, 47	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49	cvmliftlem7 35278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51	cvmliftlem6 35277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
53	23, 52	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
54	53	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
55	54	fdmd 6698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
56	48, 55	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57		funssfv 6879	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
58	19, 27, 56, 57	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem9 35280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
60	23, 59	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
61	46	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
62	41	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem4 35275	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
64	62, 63	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
66	65, 46	fveq12d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
67	60, 61, 66	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68		0nn0 12457	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		fvsng 7154	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
70	68, 6, 69	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
71	58, 67, 70	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℩crio 7343  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  (,)cioo 13306  [,]cicc 13309  ...cfz 13468  seqcseq 13966   ↾_t crest 17383  topGenctg 17400   Cn ccn 23111  Homeochmeo 23640  IIcii 24768   CovMap ccvm 35242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906  df-cn 23114  df-hmeo 23642  df-ii 24770  df-cvm 35243

This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  35284