Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem13 33890
Description: Lemma for cvmlift 33893. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 33889 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
1514simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16 iiuni 24244 . . . . . 6 (0[,]1) = II
1716, 2cnf 22597 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1918ffund 6672 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐾)
20 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
218, 20eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
22 eluzfz1 13448 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘1))
2524ssiun2s 5008 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2726, 13sseqtrrdi 3995 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28 0xr 11202 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
308nnrecred 12204 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130rexrd 11205 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32 1red 11156 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33 0le1 11678 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 1)
358nnred 12168 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
368nngt0d 12202 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
37 divge0 12024 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
3832, 34, 35, 36, 37syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39 lbicc2 13381 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4029, 31, 38, 39syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41 1m1e0 12225 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4241oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
438nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
448nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
4543, 44div0d 11930 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
4642, 45eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
4746oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4840, 47eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49 eqid 2736 . . . . . . . 8 (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49cvmliftlem7 33885 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51cvmliftlem6 33884 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5323, 52mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5453simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
5554fdmd 6679 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5648, 55eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57 funssfv 6863 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
5819, 27, 56, 57syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 33887 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6023, 59mpdan 685 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6146fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
6241fveq2i 6845 . . . . . 6 (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 33882 . . . . . 6 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
6462, 63eqtri 2764 . . . . 5 (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
6665, 46fveq12d 6849 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
6760, 61, 663eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68 0nn0 12428 . . 3 0 ∈ ℕ0
69 fvsng 7126 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑃𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7068, 6, 69sylancr 587 . 2 (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7158, 67, 703eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  seqcseq 13906  t crest 17302  topGenctg 17319   Cn ccn 22575  Homeochmeo 23104  IIcii 24238   CovMap ccvm 33849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-hmeo 23106  df-ii 24240  df-cvm 33850
This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  33891
  Copyright terms: Public domain W3C validator