Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem13 31877
Description: Lemma for cvmlift 31880. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 31876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
1514simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16 iiuni 23092 . . . . . 6 (0[,]1) = II
1716, 2cnf 21458 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1918ffund 6295 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐾)
20 nnuz 12029 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
218, 20syl6eleq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
22 eluzfz1 12665 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘1))
2524ssiun2s 4797 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2726, 13syl6sseqr 3870 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28 0xr 10423 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
308nnrecred 11426 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130rexrd 10426 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32 1red 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33 0le1 10898 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 1)
358nnred 11391 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
368nngt0d 11424 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
37 divge0 11246 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
3832, 34, 35, 36, 37syl22anc 829 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39 lbicc2 12602 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4029, 31, 38, 39syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41 1m1e0 11447 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4241oveq1i 6932 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
438nncnd 11392 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
448nnne0d 11425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
4543, 44div0d 11150 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
4642, 45syl5eq 2825 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
4746oveq1d 6937 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4840, 47eleqtrrd 2861 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49 eqid 2777 . . . . . . . 8 (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49cvmliftlem7 31872 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51cvmliftlem6 31871 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5323, 52mpdan 677 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5453simpld 490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
5554fdmd 6300 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5648, 55eleqtrrd 2861 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57 funssfv 6467 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
5819, 27, 56, 57syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 31874 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6023, 59mpdan 677 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6146fveq2d 6450 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
6241fveq2i 6449 . . . . . 6 (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 31869 . . . . . 6 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
6462, 63eqtri 2801 . . . . 5 (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
6665, 46fveq12d 6453 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
6760, 61, 663eqtr3d 2821 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68 0nn0 11659 . . 3 0 ∈ ℕ0
69 fvsng 6713 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑃𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7068, 6, 69sylancr 581 . 2 (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7158, 67, 703eqtrd 2817 1 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3397  cdif 3788  cun 3789  cin 3790  wss 3791  c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  cop 4403   cuni 4671   ciun 4753   class class class wbr 4886  cmpt 4965   I cid 5260   × cxp 5353  ccnv 5354  dom cdm 5355  ran crn 5356  cres 5357  cima 5358  ccom 5359  Fun wfun 6129  wf 6131  cfv 6135  crio 6882  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  1st c1st 7443  2nd c2nd 7444  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  0cn0 11642  cuz 11992  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  seqcseq 13119  t crest 16467  topGenctg 16484   Cn ccn 21436  Homeochmeo 21965  IIcii 23086   CovMap ccvm 31836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-hmeo 21967  df-ii 23088  df-cvm 31837
This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  31878
  Copyright terms: Public domain W3C validator