Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmliftlem13 34356
Description: Lemma for cvmlift 34359. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐡   𝑗,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,π‘₯,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝑧   πœ‘,𝑗,𝑠,π‘₯,𝑧   𝑁,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(π‘š)   𝐽(π‘š)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝐿(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐡 = βˆͺ 𝐢
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 34355 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
1514simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐢))
16 iiuni 24404 . . . . . 6 (0[,]1) = βˆͺ II
1716, 2cnf 22757 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐢) β†’ 𝐾:(0[,]1)⟢𝐡)
1815, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾:(0[,]1)⟢𝐡)
1918ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐾)
20 nnuz 12867 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
218, 20eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
22 eluzfz1 13510 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
24 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜1))
2524ssiun2s 5051 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜))
2623, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜))
2726, 13sseqtrrdi 4033 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† 𝐾)
28 0xr 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
308nnrecred 12265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130rexrd 11266 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32 1red 11217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 0le1 11739 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
358nnred 12229 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
368nngt0d 12263 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
37 divge0 12085 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑁))
3832, 34, 35, 36, 37syl22anc 837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝑁))
39 lbicc2 13443 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (1 / 𝑁)) β†’ 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4029, 31, 38, 39syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41 1m1e0 12286 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 1) = 0
4241oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
438nncnd 12230 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
448nnne0d 12264 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
4543, 44div0d 11991 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
4642, 45eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = 0)
4746oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4840, 47eleqtrrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49 eqid 2732 . . . . . . . 8 (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49cvmliftlem7 34351 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51cvmliftlem6 34350 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5323, 52mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5453simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡)
5554fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘„β€˜1) = (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5648, 55eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ dom (π‘„β€˜1))
57 funssfv 6912 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (π‘„β€˜1) βŠ† 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (π‘„β€˜1)) β†’ (πΎβ€˜0) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
5819, 27, 56, 57syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 34353 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)))
6023, 59mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)))
6146fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
6241fveq2i 6894 . . . . . 6 (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = (π‘„β€˜0)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 34348 . . . . . 6 (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
6462, 63eqtri 2760 . . . . 5 (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
6564a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = {⟨0, π‘ƒβŸ©})
6665, 46fveq12d 6898 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
6760, 61, 663eqtr3d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜0) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
68 0nn0 12489 . . 3 0 ∈ β„•0
69 fvsng 7180 . . 3 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7068, 6, 69sylancr 587 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7158, 67, 703eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329  ...cfz 13486  seqcseq 13968   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385   Cn ccn 22735  Homeochmeo 23264  IIcii 24398   CovMap ccvm 34315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-hmeo 23266  df-ii 24400  df-cvm 34316
This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  34357
  Copyright terms: Public domain W3C validator