Theorem cvmliftlem13 35883

Description: Lemma for cvmlift 35886. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem13	⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑏)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠)   𝐶(𝑥, 𝑚)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝑄(𝑗, 𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝐿(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 35882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16		iiuni 25115	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
17	16, 2	cnf 23477	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19	18	ffund 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐾)
20		nnuz 12930	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	8, 20	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘1))
25	24	ssiun2s 5011	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
26	23, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
27	26, 13	sseqtrrdi 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28		0xr 11284	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	8	nnrecred 12315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32		1red 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		0le1 11765	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
35	8	nnred 12276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	8	nngt0d 12313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		divge0 12112	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
38	32, 34, 35, 36, 37	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39		lbicc2 13521	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
40	29, 31, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41		1m1e0 12341	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
42	41	oveq1i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
43	8	nncnd 12277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	8	nnne0d 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	div0d 12018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
46	42, 45	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
47	46	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
48	40, 47	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49	cvmliftlem7 35878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51	cvmliftlem6 35877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
53	23, 52	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
54	53	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
55	54	fdmd 6717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
56	48, 55	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57		funssfv 6903	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
58	19, 27, 56, 57	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem9 35880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
60	23, 59	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
61	46	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
62	41	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem4 35875	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
64	62, 63	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
66	65, 46	fveq12d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
67	60, 61, 66	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68		0nn0 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		fvsng 7182	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
70	68, 6, 69	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
71	58, 67, 70	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ⟨cop 4593  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  (,)cioo 13402  [,]cicc 13405  ...cfz 13565  seqcseq 14069   ↾_t crest 17511  topGenctg 17528   Cn ccn 23455  Homeochmeo 23985  IIcii 25109   CovMap ccvm 35842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-icc 13409  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cld 23250  df-cn 23458  df-hmeo 23987  df-ii 25111  df-cvm 35843

This theorem is used by:  cvmliftlem14  35884