Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem13 32651
Description: Lemma for cvmlift 32654. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 32650 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
1514simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16 iiuni 23489 . . . . . 6 (0[,]1) = II
1716, 2cnf 21854 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1918ffund 6495 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐾)
20 nnuz 12273 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
218, 20eleqtrdi 2903 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
22 eluzfz1 12913 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘1))
2524ssiun2s 4938 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2726, 13sseqtrrdi 3969 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
308nnrecred 11680 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130rexrd 10684 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32 1red 10635 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 1)
358nnred 11644 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
368nngt0d 11678 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
37 divge0 11502 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
3832, 34, 35, 36, 37syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39 lbicc2 12846 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4029, 31, 38, 39syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41 1m1e0 11701 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4241oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
438nncnd 11645 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
448nnne0d 11679 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
4543, 44div0d 11408 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
4642, 45syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
4746oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4840, 47eleqtrrd 2896 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49 eqid 2801 . . . . . . . 8 (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49cvmliftlem7 32646 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51cvmliftlem6 32645 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5323, 52mpdan 686 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5453simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
5554fdmd 6501 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5648, 55eleqtrrd 2896 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57 funssfv 6670 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
5819, 27, 56, 57syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 32648 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6023, 59mpdan 686 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6146fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
6241fveq2i 6652 . . . . . 6 (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 32643 . . . . . 6 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
6462, 63eqtri 2824 . . . . 5 (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
6665, 46fveq12d 6656 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
6760, 61, 663eqtr3d 2844 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
69 fvsng 6923 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑃𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7068, 6, 69sylancr 590 . 2 (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7158, 67, 703eqtrd 2840 1 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  cop 4534   cuni 4803   ciun 4884   class class class wbr 5033  cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  ccom 5527  Fun wfun 6322  wf 6324  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  0cn0 11889  cuz 12235  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  seqcseq 13368  t crest 16689  topGenctg 16706   Cn ccn 21832  Homeochmeo 22361  IIcii 23483   CovMap ccvm 32610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cn 21835  df-hmeo 22363  df-ii 23485  df-cvm 32611
This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  32652
  Copyright terms: Public domain W3C validator