Theorem cvmliftlem13 35286

Description: Lemma for cvmlift 35289. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem13	⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 35285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16		iiuni 24755	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
17	16, 2	cnf 23115	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19	18	ffund 6650	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐾)
20		nnuz 12766	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	8, 20	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13422	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24		fveq2 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘1))
25	24	ssiun2s 4994	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
26	23, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
27	26, 13	sseqtrrdi 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28		0xr 11150	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	8	nnrecred 12167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32		1red 11104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		0le1 11631	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
35	8	nnred 12131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	8	nngt0d 12165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		divge0 11982	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
38	32, 34, 35, 36, 37	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39		lbicc2 13355	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
40	29, 31, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41		1m1e0 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
42	41	oveq1i 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
43	8	nncnd 12132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	8	nnne0d 12166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	div0d 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
46	42, 45	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
47	46	oveq1d 7355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
48	40, 47	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49	cvmliftlem7 35281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51	cvmliftlem6 35280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
53	23, 52	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
54	53	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
55	54	fdmd 6656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
56	48, 55	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57		funssfv 6837	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
58	19, 27, 56, 57	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem9 35283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
60	23, 59	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
61	46	fveq2d 6820	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
62	41	fveq2i 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem4 35278	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
64	62, 63	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
66	65, 46	fveq12d 6823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
67	60, 61, 66	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68		0nn0 12387	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		fvsng 7108	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
70	68, 6, 69	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
71	58, 67, 70	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3392  Vcvv 3433   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ⟨cop 4579  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4938   class class class wbr 5088   ↦ cmpt 5169   I cid 5507   × cxp 5611  ^◡ccnv 5612  dom cdm 5613  ran crn 5614   ↾ cres 5615   “ cima 5616   ∘ ccom 5617  Fun wfun 6470  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  ℩crio 7296  (class class class)co 7340   ∈ cmpo 7342  1^st c1st 7913  2^nd c2nd 7914  ℝcr 10996  0cc0 10997  1c1 10998  ℝ^*cxr 11136   < clt 11137   ≤ cle 11138   − cmin 11335   / cdiv 11765  ℕcn 12116  ℕ₀cn0 12372  ℤ_≥cuz 12723  (,)cioo 13236  [,]cicc 13239  ...cfz 13398  seqcseq 13896   ↾_t crest 17311  topGenctg 17328   Cn ccn 23093  Homeochmeo 23622  IIcii 24749   CovMap ccvm 35245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-icc 13243  df-fz 13399  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-rest 17313  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-top 22763  df-topon 22780  df-bases 22815  df-cld 22888  df-cn 23096  df-hmeo 23624  df-ii 24751  df-cvm 35246

This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  35287