Theorem cvmliftlem13 34776

Description: Lemma for cvmlift 34779. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem13	⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 34775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16		iiuni 24723	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
17	16, 2	cnf 23072	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19	18	ffund 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐾)
20		nnuz 12862	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	8, 20	eleqtrdi 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘1))
25	24	ssiun2s 5041	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
26	23, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
27	26, 13	sseqtrrdi 4025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28		0xr 11258	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	8	nnrecred 12260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32		1red 11212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		0le1 11734	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
35	8	nnred 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	8	nngt0d 12258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		divge0 12080	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
38	32, 34, 35, 36, 37	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39		lbicc2 13438	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
40	29, 31, 38, 39	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41		1m1e0 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
42	41	oveq1i 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
43	8	nncnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	8	nnne0d 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	div0d 11986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
46	42, 45	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
47	46	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
48	40, 47	eleqtrrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49	cvmliftlem7 34771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51	cvmliftlem6 34770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
53	23, 52	mpdan 684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
54	53	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
55	54	fdmd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
56	48, 55	eleqtrrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57		funssfv 6902	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
58	19, 27, 56, 57	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem9 34773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
60	23, 59	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
61	46	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
62	41	fveq2i 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem4 34768	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
64	62, 63	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
66	65, 46	fveq12d 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
67	60, 61, 66	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68		0nn0 12484	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		fvsng 7170	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
70	68, 6, 69	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
71	58, 67, 70	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594  {csn 4620  ⟨cop 4626  ∪ cuni 4899  ∪ ciun 4987   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℩crio 7356  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤ_≥cuz 12819  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  seqcseq 13963   ↾_t crest 17365  topGenctg 17382   Cn ccn 23050  Homeochmeo 23579  IIcii 24717   CovMap ccvm 34735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cld 22845  df-cn 23053  df-hmeo 23581  df-ii 24719  df-cvm 34736

This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  34777