Theorem cvmliftlem13 36030

Description: Lemma for cvmlift 36033. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem13	⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑏)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠)   𝐶(𝑥, 𝑚)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝑄(𝑗, 𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝐿(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 36029	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16		iiuni 25182	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
17	16, 2	cnf 23544	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19	18	ffund 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐾)
20		nnuz 12985	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	8, 20	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
24		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘1))
25	24	ssiun2s 5007	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
26	23, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘))
27	26, 13	sseqtrrdi 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
28		0xr 11337	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	8	nnrecred 12370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32		1red 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		0le1 11820	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
35	8	nnred 12331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
36	8	nngt0d 12368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
37		divge0 12167	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
38	32, 34, 35, 36, 37	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
39		lbicc2 13576	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
40	29, 31, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41		1m1e0 12396	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
42	41	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
43	8	nncnd 12332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	8	nnne0d 12369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	div0d 12073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
46	42, 45	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
47	46	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
48	40, 47	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49	cvmliftlem7 36025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51	cvmliftlem6 36024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
53	23, 52	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
54	53	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
55	54	fdmd 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
56	48, 55	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
57		funssfv 6898	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
58	19, 27, 56, 57	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem9 36027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
60	23, 59	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
61	46	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
62	41	fveq2i 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cvmliftlem4 36022	. . . . . 6 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
64	62, 63	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
66	65, 46	fveq12d 6884	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
67	60, 61, 66	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
68		0nn0 12602	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
69		fvsng 7177	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
70	68, 6, 69	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
71	58, 67, 70	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤ_≥cuz 12946  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  seqcseq 14124   ↾_t crest 17571  topGenctg 17588   Cn ccn 23522  Homeochmeo 24052  IIcii 25176   CovMap ccvm 35989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-icc 13464  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cld 23317  df-cn 23525  df-hmeo 24054  df-ii 25178  df-cvm 35990

This theorem is used by:  cvmliftlem14  36031