Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmliftlem13 34582
Description: Lemma for cvmlift 34585. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐡   𝑗,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,π‘₯,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝑧   πœ‘,𝑗,𝑠,π‘₯,𝑧   𝑁,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(π‘š)   𝐽(π‘š)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝐿(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐡 = βˆͺ 𝐢
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 34581 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
1514simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐢))
16 iiuni 24622 . . . . . 6 (0[,]1) = βˆͺ II
1716, 2cnf 22971 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐢) β†’ 𝐾:(0[,]1)⟢𝐡)
1815, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾:(0[,]1)⟢𝐡)
1918ffund 6722 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐾)
20 nnuz 12870 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
218, 20eleqtrdi 2842 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
22 eluzfz1 13513 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
24 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜1))
2524ssiun2s 5052 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜))
2623, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜))
2726, 13sseqtrrdi 4034 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) βŠ† 𝐾)
28 0xr 11266 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
308nnrecred 12268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130rexrd 11269 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
32 1red 11220 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 0le1 11742 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
358nnred 12232 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
368nngt0d 12266 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
37 divge0 12088 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑁))
3832, 34, 35, 36, 37syl22anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝑁))
39 lbicc2 13446 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (1 / 𝑁)) β†’ 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4029, 31, 38, 39syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
41 1m1e0 12289 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 1) = 0
4241oveq1i 7422 . . . . . . 7 ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
438nncnd 12233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
448nnne0d 12267 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
4543, 44div0d 11994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
4642, 45eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = 0)
4746oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4840, 47eleqtrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
49 eqid 2731 . . . . . . . 8 (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
50 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49cvmliftlem7 34577 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 49, 50, 51cvmliftlem6 34576 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5323, 52mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5453simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡)
5554fdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘„β€˜1) = (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5648, 55eleqtrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ dom (π‘„β€˜1))
57 funssfv 6913 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (π‘„β€˜1) βŠ† 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (π‘„β€˜1)) β†’ (πΎβ€˜0) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
5819, 27, 56, 57syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 34579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)))
6023, 59mpdan 684 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)))
6146fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜1)β€˜0))
6241fveq2i 6895 . . . . . 6 (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = (π‘„β€˜0)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 34574 . . . . . 6 (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
6462, 63eqtri 2759 . . . . 5 (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
6564a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(1 βˆ’ 1)) = {⟨0, π‘ƒβŸ©})
6665, 46fveq12d 6899 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
6760, 61, 663eqtr3d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1)β€˜0) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
68 0nn0 12492 . . 3 0 ∈ β„•0
69 fvsng 7181 . . 3 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7068, 6, 69sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7158, 67, 703eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜0) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  seqcseq 13971   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388   Cn ccn 22949  Homeochmeo 23478  IIcii 24616   CovMap ccvm 34541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cld 22744  df-cn 22952  df-hmeo 23480  df-ii 24618  df-cvm 34542
This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  34583
  Copyright terms: Public domain W3C validator