Theorem subfacp1lem2b 32663

Description: Lemma for subfacp1 32668. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		subfacp1lem2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	subfacp1lem2a 32662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
11	10	simp1d 1139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
12		f1ofun 6608	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14	13	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → Fun 𝐹)
15		ssun1 4079	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
16	15, 8	sseqtrri 3931	. . 3 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐹
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐺 ⊆ 𝐹)
18		f1odm 6610	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 → dom 𝐺 = 𝐾)
19	9, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐾)
20	19	eleq2d 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑋 ∈ 𝐾))
21	20	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
22		funssfv 6683	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
23	14, 17, 21, 22	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5115  dom cdm 5527  Fun wfun 6333  –1-1-onto→wf1o 6338  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  1c1 10581   + caddc 10583  ℕcn 11679  2c2 11734  ℕ₀cn0 11939  ...cfz 12944  ♯chash 13745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-oadd 8121  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746

This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  32664  subfacp1lem4  32665  subfacp1lem5  32666