Theorem subfacp1lem2b 35056

Description: Lemma for subfacp1 35061. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		subfacp1lem2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	subfacp1lem2a 35055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
11	10	simp1d 1139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
12		f1ofun 6849	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14	13	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → Fun 𝐹)
15		ssun1 4183	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
16	15, 8	sseqtrri 4029	. . 3 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐹
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐺 ⊆ 𝐹)
18		f1odm 6851	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 → dom 𝐺 = 𝐾)
19	9, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐾)
20	19	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑋 ∈ 𝐾))
21	20	biimpar 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
22		funssfv 6926	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
23	14, 17, 21, 22	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  {cab 2706   ≠ wne 2933  ∀wral 3054  Vcvv 3472   ∖ cdif 3956   ∪ cun 3957   ⊆ wss 3959  {csn 4636  {cpr 4638  ⟨cop 4642   ↦ cmpt 5239  dom cdm 5686  Fun wfun 6552  –1-1-onto→wf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Fincfn 8982  1c1 11166   + caddc 11168  ℕcn 12274  2c2 12329  ℕ₀cn0 12534  ...cfz 13548  ♯chash 14359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-dju 9951  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-fz 13549  df-hash 14360

This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  35057  subfacp1lem4  35058  subfacp1lem5  35059