Theorem subfacp1lem2b 35528

Description: Lemma for subfacp1 35533. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		subfacp1lem2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	subfacp1lem2a 35527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
11	10	simp1d 1155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
12		f1ofun 6808	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14	13	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → Fun 𝐹)
15		ssun1 4130	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
16	15, 8	sseqtrri 3985	. . 3 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐹
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐺 ⊆ 𝐹)
18		f1odm 6810	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 → dom 𝐺 = 𝐾)
19	9, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐾)
20	19	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑋 ∈ 𝐾))
21	20	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
22		funssfv 6888	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
23	14, 17, 21, 22	syl3anc 1390	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  Fun wfun 6515  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  35529  subfacp1lem4  35530  subfacp1lem5  35531