Theorem subumgredg2 29372

Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subumgredg2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subumgredg2	⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6836	. . 3 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘𝑋) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2))
2		subumgredg2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
3		subumgredg2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4		umgruhgr 29191	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
7		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
8	2, 3, 5, 6, 7	subgruhgredgd 29371	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
9		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	9	uhgrfun 29153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
12	11	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
13		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
14		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
15		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
16	13, 14, 3, 9, 15	subgrprop2 29361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
17	16	simp2d 1149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18	17	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
19		funssfv 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
20	19	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
21	12, 18, 7, 20	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
22	21	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
23		simp2 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
24	3	dmeqi 5846	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
25	24	eleq2i 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
26		subgreldmiedg 29370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	26	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
28	25, 27	biimtrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
29	28	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
30	29	3imp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	14, 9	umgredg2 29187	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
32	23, 30, 31	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
33	22, 32	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2)
34	1, 8, 33	elrabd 3631	. 2 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
35		prprrab 14426	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
36	34, 35	eleqtrdi 2849	1 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  Fun wfun 6479  ‘cfv 6485  2c2 12227  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  Edgcedg 29134  UHGraphcuhgr 29143  UMGraphcumgr 29168   SubGraph csubgr 29354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-umgr 29170  df-subgr 29355

This theorem is referenced by:  subumgr  29375  subusgr  29376