Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subumgredg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subumgredg2 27053
 Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subumgredg2.v 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
subumgredg2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6652 . . 3 (𝑒 = (𝐼𝑋) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘(𝐼𝑋)) = 2))
2 subumgredg2.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
3 subumgredg2.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4 umgruhgr 26875 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6 simp1 1133 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
82, 3, 5, 6, 7subgruhgredgd 27052 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
9 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
109uhgrfun 26837 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
12113ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
13 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
14 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
15 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
1613, 14, 3, 9, 15subgrprop2 27042 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
1716simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18173ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
19 funssfv 6664 . . . . . . 7 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼𝑋))
2019eqcomd 2827 . . . . . 6 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2112, 18, 7, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2221fveq2d 6647 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼𝑋)) = (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
23 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
243dmeqi 5746 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
2524eleq2i 2903 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
26 subgreldmiedg 27051 . . . . . . . . 9 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
2726ex 416 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2825, 27syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2928a1d 25 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
30293imp 1108 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
3114, 9umgredg2 26871 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3223, 30, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3322, 32eqtrd 2856 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼𝑋)) = 2)
341, 8, 33elrabd 3659 . 2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
35 prprrab 13815 . 2 {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
3634, 35eleqtrdi 2922 1 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3130   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  𝒫 cpw 4512  {csn 4540   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  2c2 11670  ♯chash 13674  Vtxcvtx 26767  iEdgciedg 26768  Edgcedg 26818  UHGraphcuhgr 26827  UMGraphcumgr 26852   SubGraph csubgr 27035 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675  df-edg 26819  df-uhgr 26829  df-upgr 26853  df-umgr 26854  df-subgr 27036 This theorem is referenced by:  subumgr  27056  subusgr  27057
 Copyright terms: Public domain W3C validator