Theorem subumgredg2 29483

Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subumgredg2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subumgredg2	⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6876	. . 3 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘𝑋) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2))
2		subumgredg2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
3		subumgredg2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4		umgruhgr 29302	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	3ad2ant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		simp1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
7		simp3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
8	2, 3, 5, 6, 7	subgruhgredgd 29482	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
9		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	9	uhgrfun 29264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
12	11	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
13		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
14		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
15		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
16	13, 14, 3, 9, 15	subgrprop2 29472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
17	16	simp2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18	17	3ad2ant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
19		funssfv 6888	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
20	19	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
21	12, 18, 7, 20	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
22	21	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
23		simp2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
24	3	dmeqi 5880	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
25	24	eleq2i 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
26		subgreldmiedg 29481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	26	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
28	25, 27	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
29	28	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
30	29	3imp 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	14, 9	umgredg2 29298	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
32	23, 30, 31	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
33	22, 32	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2)
34	1, 8, 33	elrabd 3652	. 2 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
35		prprrab 14486	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
36	34, 35	eleqtrdi 2872	1 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  Fun wfun 6515  ‘cfv 6521  2c2 12272  ♯chash 14343  Vtxcvtx 29194  iEdgciedg 29195  Edgcedg 29245  UHGraphcuhgr 29254  UMGraphcumgr 29279   SubGraph csubgr 29465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-edg 29246  df-uhgr 29256  df-upgr 29280  df-umgr 29281  df-subgr 29466

This theorem is referenced by:  subumgr  29486  subusgr  29487