Theorem subumgredg2 28810

Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subumgredg2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subumgredg2	⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6900	. . 3 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘𝑋) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2))
2		subumgredg2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
3		subumgredg2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4		umgruhgr 28632	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
7		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
8	2, 3, 5, 6, 7	subgruhgredgd 28809	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
9		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	9	uhgrfun 28594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
12	11	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
13		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
14		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
15		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
16	13, 14, 3, 9, 15	subgrprop2 28799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
17	16	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18	17	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
19		funssfv 6912	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
20	19	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
21	12, 18, 7, 20	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
22	21	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
23		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
24	3	dmeqi 5904	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
25	24	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
26		subgreldmiedg 28808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	26	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
28	25, 27	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
29	28	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
30	29	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	14, 9	umgredg2 28628	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
32	23, 30, 31	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
33	22, 32	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘𝑋)) = 2)
34	1, 8, 33	elrabd 3685	. 2 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
35		prprrab 14439	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
36	34, 35	eleqtrdi 2842	1 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  2c2 12272  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575  UHGraphcuhgr 28584  UMGraphcumgr 28609   SubGraph csubgr 28792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28576  df-uhgr 28586  df-upgr 28610  df-umgr 28611  df-subgr 28793

This theorem is referenced by:  subumgr  28813  subusgr  28814