MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv 24403
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23892 . . . . 5 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssidd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
4 pserf.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
5 pserf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6 pserf.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 psercn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
8 psercn.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
93, 4, 5, 6, 7, 8psercn 24400 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
10 cncff 22913 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
12 cnvimass 5702 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13 absf 14303 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
1413fdmi 6269 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
1512, 14sseqtri 3841 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
167, 15eqsstri 3839 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
182, 11, 17dvbss 23885 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19 ssidd 3828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
2011adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22 pserdv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23 cnxmet 22793 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
25 0cnd 10321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
2617sselda 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
2726abscld 14401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
283, 4, 5, 6, 7, 8psercnlem1 24399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
2928simp1d 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3029rpred 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
3127, 30readdcld 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
32 0red 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
3326absge0d 14409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
3427, 29ltaddrpd 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3532, 27, 31, 33, 34lelttrd 10483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3631, 35elrpd 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
3736rphalfcld 12101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
3837rpxrd 12090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
39 blssm 22440 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4024, 25, 38, 39syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4122, 40syl5eqss 3853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
42 eqid 2813 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4342cnfldtopon 22803 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4443toponrestid 20943 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4542, 44dvres 23895 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
4619, 20, 21, 41, 45syl22anc 858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
47 resss 5632 . . . . . . . . . 10 ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
4846, 47syl6eqss 3859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
49 dmss 5531 . . . . . . . . 9 ((ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
513, 4, 5, 6, 7, 8pserdvlem1 24401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
523, 4, 5, 6, 7, 51psercnlem2 24398 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
5352simp1d 1165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
5453, 22syl6eleqr 2903 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝐵)
553, 4, 5, 6, 7, 8, 22pserdvlem2 24402 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
5655dmeqd 5534 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
57 dmmptg 5853 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V → dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵)
58 sumex 14644 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V)
6057, 59mprg 3121 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵
6156, 60syl6eq 2863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
6254, 61eleqtrrd 2895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵)))
6350, 62sseldd 3806 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
6418, 63eqelssd 3826 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
6564feq2d 6245 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
661, 65mpbii 224 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
6766feqmptd 6473 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
68 ffun 6262 . . . . . . 7 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
691, 68mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
70 funssfv 6432 . . . . . 6 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7169, 48, 62, 70syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7255fveq1d 6413 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎))
73 oveq1 6884 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑘) = (𝑎𝑘))
7473oveq2d 6893 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
7574sumeq2sdv 14661 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
76 eqid 2813 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
77 sumex 14644 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) ∈ V
7875, 76, 77fvmpt 6506 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
7954, 78syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8071, 72, 793eqtrd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8180mpteq2dva 4945 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
8267, 81eqtrd 2847 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
83 oveq1 6884 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑘) = (𝑦𝑘))
8483oveq2d 6893 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8584sumeq2sdv 14661 . . 3 (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8685cbvmptv 4951 . 2 (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8782, 86syl6eq 2863 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  {crab 3107  Vcvv 3398  wss 3776  ifcif 4286   class class class wbr 4851  cmpt 4930  ccnv 5317  dom cdm 5318  cres 5320  cima 5321  ccom 5322  Fun wfun 6098  wf 6100  cfv 6104  (class class class)co 6877  supcsup 8588  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10361   < clt 10362  cmin 10554   / cdiv 10972  2c2 11359  0cn0 11562  +crp 12049  [,)cico 12398  [,]cicc 12399  seqcseq 13027  cexp 13086  abscabs 14200  cli 14441  Σcsu 14642  TopOpenctopn 16290  ∞Metcxmt 19942  ballcbl 19944  fldccnfld 19957  intcnt 21039  cnccncf 22896   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-cmp 21408  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-ulm 24351
This theorem is referenced by:  pserdv2  24404
  Copyright terms: Public domain W3C validator