MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv 25940
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
pserdv.b 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑗,𝐺,π‘˜,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐡(𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem pserdv
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25424 . . . . 5 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
2 ssidd 4005 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
4 pserf.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
5 pserf.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
6 pserf.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 psercn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
8 psercn.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
93, 4, 5, 6, 7, 8psercn 25937 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
10 cncff 24408 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
12 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
13 absf 15283 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
1413fdmi 6729 . . . . . . . . . . 11 dom abs = β„‚
1512, 14sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
167, 15eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† β„‚
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
182, 11, 17dvbss 25417 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) βŠ† 𝑆)
19 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
2011adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
22 pserdv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
23 cnxmet 24288 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
24 0cnd 11206 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„‚)
2517sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
2625abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
273, 4, 5, 6, 7, 8psercnlem1 25936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
2827simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
2928rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3026, 29readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) ∈ ℝ)
31 0red 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
3225absge0d 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
3326, 28ltaddrpd 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀))
3431, 26, 30, 32, 33lelttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 < ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀))
3530, 34elrpd 13012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) ∈ ℝ+)
3635rphalfcld 13027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
3736rpxrd 13016 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38 blssm 23923 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2)) βŠ† β„‚)
3923, 24, 37, 38mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2)) βŠ† β„‚)
4022, 39eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241cnfldtopon 24298 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4342toponrestid 22422 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4441, 43dvres 25427 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚) ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚)) β†’ (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅)))
4519, 20, 21, 40, 44syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅)))
46 resss 6006 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅)) βŠ† (β„‚ D 𝐹)
4745, 46eqsstrdi 4036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) βŠ† (β„‚ D 𝐹))
48 dmss 5902 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) βŠ† (β„‚ D 𝐹) β†’ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))
503, 4, 5, 6, 7, 8pserdvlem1 25938 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) ∧ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
513, 4, 5, 6, 7, 50psercnlem2 25935 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,](((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))) ∧ (β—‘abs β€œ (0[,](((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))) βŠ† 𝑆))
5251simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2)))
5352, 22eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
543, 4, 5, 6, 7, 8, 22pserdvlem2 25939 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
5554dmeqd 5905 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
56 dmmptg 6241 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ V β†’ dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = 𝐡)
57 sumex 15633 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ V)
5956, 58mprg 3067 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = 𝐡
6055, 59eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡)
6153, 60eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
6249, 61sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
6318, 62eqelssd 4003 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑆)
6463feq2d 6703 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):π‘†βŸΆβ„‚))
651, 64mpbii 232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):π‘†βŸΆβ„‚)
6665feqmptd 6960 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘Ž ∈ 𝑆 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘Ž)))
67 ffun 6720 . . . . . . 7 ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
681, 67mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
69 funssfv 6912 . . . . . 6 ((Fun (β„‚ D 𝐹) ∧ (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) βŠ† (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ dom (β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘Ž) = ((β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘Ž))
7068, 47, 61, 69syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘Ž) = ((β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘Ž))
7154fveq1d 6893 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((β„‚ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘Ž) = ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘Ž))
72 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Ž β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = (π‘Žβ†‘π‘˜))
7372oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Ž β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)))
7473sumeq2sdv 15649 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)))
75 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
76 sumex 15633 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)) ∈ V
7774, 75, 76fvmpt 6998 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)))
7853, 77syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)))
7970, 71, 783eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)))
8079mpteq2dva 5248 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜))))
8166, 80eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘Ž ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜))))
82 oveq1 7415 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (π‘Žβ†‘π‘˜) = (π‘¦β†‘π‘˜))
8382oveq2d 7424 . . . 4 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)) = (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
8483sumeq2sdv 15649 . . 3 (π‘Ž = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
8584cbvmptv 5261 . 2 (π‘Ž ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘Žβ†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
8681, 85eqtrdi 2788 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„+crp 12973  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  seqcseq 13965  β†‘cexp 14026  abscabs 15180   ⇝ cli 15427  Ξ£csu 15631  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  β„‚fldccnfld 20943  intcnt 22520  β€“cnβ†’ccncf 24391   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ulm 25888
This theorem is referenced by:  pserdv2  25941
  Copyright terms: Public domain W3C validator