MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv 25788
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25272 . . . . 5 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssidd 3967 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
4 pserf.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
5 pserf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6 pserf.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 psercn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
8 psercn.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
93, 4, 5, 6, 7, 8psercn 25785 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
10 cncff 24256 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
12 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13 absf 15222 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
1413fdmi 6680 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
1512, 14sseqtri 3980 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
167, 15eqsstri 3978 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
182, 11, 17dvbss 25265 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19 ssidd 3967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
2011adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22 pserdv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23 cnxmet 24136 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
24 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
2517sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
2625abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
273, 4, 5, 6, 7, 8psercnlem1 25784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
2827simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
2928rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
3026, 29readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
31 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
3225absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
3326, 28ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3431, 26, 30, 32, 33lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3530, 34elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
3635rphalfcld 12969 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
3736rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38 blssm 23771 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
3923, 24, 37, 38mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4022, 39eqsstrid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4342toponrestid 22270 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4441, 43dvres 25275 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
4519, 20, 21, 40, 44syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
46 resss 5962 . . . . . . . . . 10 ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
4745, 46eqsstrdi 3998 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
48 dmss 5858 . . . . . . . . 9 ((ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
503, 4, 5, 6, 7, 8pserdvlem1 25786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
513, 4, 5, 6, 7, 50psercnlem2 25783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
5251simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
5352, 22eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝐵)
543, 4, 5, 6, 7, 8, 22pserdvlem2 25787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
5554dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
56 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V → dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵)
57 sumex 15572 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V)
5956, 58mprg 3070 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵
6055, 59eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
6153, 60eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵)))
6249, 61sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
6318, 62eqelssd 3965 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
6463feq2d 6654 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
651, 64mpbii 232 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
6665feqmptd 6910 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
67 ffun 6671 . . . . . . 7 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
681, 67mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
69 funssfv 6863 . . . . . 6 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7068, 47, 61, 69syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7154fveq1d 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎))
72 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑘) = (𝑎𝑘))
7372oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
7473sumeq2sdv 15589 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
75 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
76 sumex 15572 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) ∈ V
7774, 75, 76fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
7853, 77syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
7970, 71, 783eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8079mpteq2dva 5205 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
8166, 80eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
82 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑘) = (𝑦𝑘))
8382oveq2d 7373 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8483sumeq2sdv 15589 . . 3 (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8584cbvmptv 5218 . 2 (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
8681, 85eqtrdi 2792 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  TopOpenctopn 17303  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  pserdv2  25789
  Copyright terms: Public domain W3C validator