Theorem pserdv 26364

Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdv	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 25834	. . . . 5 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		pserf.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		pserf.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
5		pserf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6		pserf.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		psercn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
8		psercn.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercn 26361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
10		cncff 24811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
12		cnvimass 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13		absf 15242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
14	13	fdmi 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom abs = ℂ
15	12, 14	sseqtri 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
16	7, 15	eqsstri 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	2, 11, 17	dvbss 25827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19		ssidd 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
20	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		pserdv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23		cnxmet 24685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
24		0cnd 11102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
25	17	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	abscld 15343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
27	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercnlem1 26360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
28	27	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
30	26, 29	readdcld 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
31		0red 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
32	25	absge0d 15351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
33	26, 28	ltaddrpd 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
34	31, 26, 30, 32, 33	lelttrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
35	30, 34	elrpd 12928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
36	35	rphalfcld 12943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 12932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38		blssm 24331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
39	23, 24, 37, 38	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
40	22, 39	eqsstrid 3973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	cnfldtopon 24695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponrestid 22834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
44	41, 43	dvres 25837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
45	19, 20, 21, 40, 44	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
46		resss 5950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
47	45, 46	eqsstrdi 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
48		dmss 5842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
50	3, 4, 5, 6, 7, 8	pserdvlem1 26362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
51	3, 4, 5, 6, 7, 50	psercnlem2 26359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
52	51	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
53	52, 22	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	3, 4, 5, 6, 7, 8, 22	pserdvlem2 26363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
55	54	dmeqd 5845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
56		dmmptg 6189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V → dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵)
57		sumex 15592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V)
59	56, 58	mprg 3053	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵
60	55, 59	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
61	53, 60	eleqtrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
62	49, 61	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
63	18, 62	eqelssd 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
64	63	feq2d 6635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
65	1, 64	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
67		ffun 6654	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
69		funssfv 6843	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
70	68, 47, 61, 69	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
71	54	fveq1d 6824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎))
72		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦↑𝑘) = (𝑎↑𝑘))
73	72	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
74	73	sumeq2sdv 15607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
75		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
76		sumex 15592	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) ∈ V
77	74, 75, 76	fvmpt 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
78	53, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
79	70, 71, 78	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
80	79	mpteq2dva 5184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
81	66, 80	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
82		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑘) = (𝑦↑𝑘))
83	82	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
84	83	sumeq2sdv 15607	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
85	84	cbvmptv 5195	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
86	81, 85	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   ↾ cres 5618   “ cima 5619   ∘ ccom 5620  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   − cmin 11341   / cdiv 11771  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244  [,]cicc 13245  seqcseq 13905  ↑cexp 13965  abscabs 15138   ⇝ cli 15388  Σcsu 15590  TopOpenctopn 17322  ∞Metcxmet 21274  ballcbl 21276  ℂ_fldccnfld 21289  intcnt 22930  –cn→ccncf 24794   D cdv 25789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-ulm 26311

This theorem is referenced by:  pserdv2  26365