Theorem pserdv 26473

Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdv	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 25943	. . . . 5 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		pserf.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		pserf.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
5		pserf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6		pserf.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		psercn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
8		psercn.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercn 26470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
10		cncff 24919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
12		cnvimass 6100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13		absf 15376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
14	13	fdmi 6747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom abs = ℂ
15	12, 14	sseqtri 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
16	7, 15	eqsstri 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	2, 11, 17	dvbss 25936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19		ssidd 4007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
20	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		pserdv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23		cnxmet 24793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
24		0cnd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
25	17	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
27	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercnlem1 26469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
28	27	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
30	26, 29	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
31		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
32	25	absge0d 15483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
33	26, 28	ltaddrpd 13110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
34	31, 26, 30, 32, 33	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
35	30, 34	elrpd 13074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
36	35	rphalfcld 13089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 13078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38		blssm 24428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
39	23, 24, 37, 38	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
40	22, 39	eqsstrid 4022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	cnfldtopon 24803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponrestid 22927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
44	41, 43	dvres 25946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
45	19, 20, 21, 40, 44	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
46		resss 6019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
47	45, 46	eqsstrdi 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
48		dmss 5913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
50	3, 4, 5, 6, 7, 8	pserdvlem1 26471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
51	3, 4, 5, 6, 7, 50	psercnlem2 26468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
52	51	simp1d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
53	52, 22	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	3, 4, 5, 6, 7, 8, 22	pserdvlem2 26472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
55	54	dmeqd 5916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
56		dmmptg 6262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V → dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵)
57		sumex 15724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V)
59	56, 58	mprg 3067	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵
60	55, 59	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
61	53, 60	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
62	49, 61	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
63	18, 62	eqelssd 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
64	63	feq2d 6722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
65	1, 64	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
67		ffun 6739	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
69		funssfv 6927	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
70	68, 47, 61, 69	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
71	54	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎))
72		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦↑𝑘) = (𝑎↑𝑘))
73	72	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
74	73	sumeq2sdv 15739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
75		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
76		sumex 15724	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) ∈ V
77	74, 75, 76	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
78	53, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
79	70, 71, 78	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
80	79	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
81	66, 80	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
82		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑘) = (𝑦↑𝑘))
83	82	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
84	83	sumeq2sdv 15739	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
85	84	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
86	81, 85	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   ↾ cres 5687   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ⇝ cli 15520  Σcsu 15722  TopOpenctopn 17466  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  ℂ_fldccnfld 21364  intcnt 23025  –cn→ccncf 24902   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420

This theorem is referenced by:  pserdv2  26474