Theorem pserdv 25588

Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdv	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 25072	. . . . 5 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		pserf.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		pserf.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
5		pserf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6		pserf.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		psercn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
8		psercn.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercn 25585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
10		cncff 24056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
12		cnvimass 5989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13		absf 15049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
14	13	fdmi 6612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom abs = ℂ
15	12, 14	sseqtri 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
16	7, 15	eqsstri 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	2, 11, 17	dvbss 25065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19		ssidd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
20	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		pserdv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23		cnxmet 23936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
24		0cnd 10968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
25	17	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
27	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercnlem1 25584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
28	27	simp1d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
30	26, 29	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
31		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
32	25	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
33	26, 28	ltaddrpd 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
34	31, 26, 30, 32, 33	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
35	30, 34	elrpd 12769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
36	35	rphalfcld 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38		blssm 23571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
39	23, 24, 37, 38	mp3an2i 1465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
40	22, 39	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
41		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	cnfldtopon 23946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponrestid 22070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
44	41, 43	dvres 25075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
45	19, 20, 21, 40, 44	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
46		resss 5916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
47	45, 46	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
48		dmss 5811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
50	3, 4, 5, 6, 7, 8	pserdvlem1 25586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
51	3, 4, 5, 6, 7, 50	psercnlem2 25583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
52	51	simp1d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
53	52, 22	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	3, 4, 5, 6, 7, 8, 22	pserdvlem2 25587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
55	54	dmeqd 5814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
56		dmmptg 6145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V → dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵)
57		sumex 15399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V)
59	56, 58	mprg 3078	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵
60	55, 59	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
61	53, 60	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
62	49, 61	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
63	18, 62	eqelssd 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
64	63	feq2d 6586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
65	1, 64	mpbii 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
67		ffun 6603	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
69		funssfv 6795	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
70	68, 47, 61, 69	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
71	54	fveq1d 6776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎))
72		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦↑𝑘) = (𝑎↑𝑘))
73	72	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
74	73	sumeq2sdv 15416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
75		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
76		sumex 15399	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) ∈ V
77	74, 75, 76	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
78	53, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
79	70, 71, 78	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
80	79	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
81	66, 80	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
82		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑘) = (𝑦↑𝑘))
83	82	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
84	83	sumeq2sdv 15416	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
85	84	cbvmptv 5187	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
86	81, 85	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  TopOpenctopn 17132  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  ℂ_fldccnfld 20597  intcnt 22168  –cn→ccncf 24039   D cdv 25027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536

This theorem is referenced by:  pserdv2  25589