Theorem pserdv 24720

Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdv	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 24209	. . . . 5 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		pserf.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		pserf.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
5		pserf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6		pserf.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		psercn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
8		psercn.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercn 24717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
10		cncff 23204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
12		cnvimass 5789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
13		absf 14558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
14	13	fdmi 6354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom abs = ℂ
15	12, 14	sseqtri 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
16	7, 15	eqsstri 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	2, 11, 17	dvbss 24202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19		ssidd 3880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
20	11	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		pserdv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
23		cnxmet 23084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
24		0cnd 10432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
25	17	sselda 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	abscld 14657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
27	3, 4, 5, 6, 7, 8	psercnlem1 24716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
28	27	simp1d 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
30	26, 29	readdcld 10469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
31		0red 10443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
32	25	absge0d 14665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
33	26, 28	ltaddrpd 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
34	31, 26, 30, 32, 33	lelttrd 10598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
35	30, 34	elrpd 12245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
36	35	rphalfcld 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
38		blssm 22731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
39	23, 24, 37, 38	mp3an2i 1445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
40	22, 39	syl5eqss 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
41		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	cnfldtopon 23094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponrestid 21233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
44	41, 43	dvres 24212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
45	19, 20, 21, 40, 44	syl22anc 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
46		resss 5723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
47	45, 46	syl6eqss 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
48		dmss 5621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
50	3, 4, 5, 6, 7, 8	pserdvlem1 24718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
51	3, 4, 5, 6, 7, 50	psercnlem2 24715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
52	51	simp1d 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
53	52, 22	syl6eleqr 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	3, 4, 5, 6, 7, 8, 22	pserdvlem2 24719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
55	54	dmeqd 5624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
56		dmmptg 5935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V → dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵)
57		sumex 14905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V)
59	56, 58	mprg 3102	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = 𝐵
60	55, 59	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
61	53, 60	eleqtrrd 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
62	49, 61	sseldd 3859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
63	18, 62	eqelssd 3878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
64	63	feq2d 6330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
65	1, 64	mpbii 225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
67		ffun 6347	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
69		funssfv 6520	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
70	68, 47, 61, 69	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎))
71	54	fveq1d 6501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑎) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎))
72		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦↑𝑘) = (𝑎↑𝑘))
73	72	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
74	73	sumeq2sdv 14921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
75		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
76		sumex 14905	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) ∈ V
77	74, 75, 76	fvmpt 6595	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
78	53, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
79	70, 71, 78	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)))
80	79	mpteq2dva 5022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
81	66, 80	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))))
82		oveq1 6983	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑘) = (𝑦↑𝑘))
83	82	oveq2d 6992	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
84	83	sumeq2sdv 14921	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
85	84	cbvmptv 5028	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎↑𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
86	81, 85	syl6eq 2830	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3092  Vcvv 3415   ⊆ wss 3829  ifcif 4350   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ^◡ccnv 5406  dom cdm 5407   ↾ cres 5409   “ cima 5410   ∘ ccom 5411  Fun wfun 6182  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  supcsup 8699  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  ℝ^*cxr 10473   < clt 10474   − cmin 10670   / cdiv 11098  2c2 11495  ℕ₀cn0 11707  ℝ⁺crp 12204  [,)cico 12556  [,]cicc 12557  seqcseq 13184  ↑cexp 13244  abscabs 14454   ⇝ cli 14702  Σcsu 14903  TopOpenctopn 16551  ∞Metcxmet 20232  ballcbl 20234  ℂ_fldccnfld 20247  intcnt 21329  –cn→ccncf 23187   D cdv 24164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-ulm 24668

This theorem is referenced by:  pserdv2  24721