MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcd 10620
Description: Downward closure of an operation on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcd.2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcd ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpcd
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 10540 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5614 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥Q𝑓Q))
32simpld 498 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝑓𝑥Q)
4 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
64, 5genpelv 10614 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺)))
76adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺)))
8 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 <Q (𝑔𝐺)))
98biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 <Q (𝑔𝐺)))
10 genpcd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
119, 10sylan9r 512 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) ∧ 𝑓 = (𝑔𝐺)) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
1211exp31 423 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) → (𝑥Q → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1312an4s 660 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑔𝐴𝐵)) → (𝑥Q → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1413impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → ((𝑔𝐴𝐵) → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1514rexlimdvv 3212 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
167, 15sylbid 243 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1716ex 416 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥Q → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
183, 17syl5 34 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1918com34 91 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
2019pm2.43d 53 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
2120com23 86 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  wrex 3062   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cmpo 7215  Qcnq 10466   <Q cltq 10472  Pcnp 10473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-ni 10486  df-nq 10526  df-ltnq 10532  df-np 10595
This theorem is referenced by:  genpcl  10622
  Copyright terms: Public domain W3C validator