Theorem genpcd 11018

Description: Downward closure of an operation on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcd.2	⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
genpcd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑓,𝐹,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤, 𝑣)   𝐵(𝑤, 𝑣)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣)

Proof of Theorem genpcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10938	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5720	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
3	2	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ Q)
4		genp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
6	4, 5	genpelv 11012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)))
8		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ)))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ)))
10		genpcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11	9, 10	sylan9r 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
12	11	exp31 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
13	12	an4s 673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
14	13	impancom 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
15	14	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16	7, 15	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
17	16	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
18	3, 17	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
19	18	com34 92	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
20	19	pm2.43d 54	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
21	20	com23 87	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Qcnq 10864   <_Q cltq 10870  Pcnp 10871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-ni 10884  df-nq 10924  df-ltnq 10930  df-np 10993

This theorem is used by:  genpcl  11020