MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcd 11044
Description: Downward closure of an operation on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcd.2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcd ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpcd
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 10964 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5754 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥Q𝑓Q))
32simpld 494 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝑓𝑥Q)
4 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
64, 5genpelv 11038 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺)))
76adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺)))
8 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 <Q (𝑔𝐺)))
98biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 <Q (𝑔𝐺)))
10 genpcd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
119, 10sylan9r 508 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) ∧ 𝑓 = (𝑔𝐺)) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
1211exp31 419 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) → (𝑥Q → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1312an4s 660 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑔𝐴𝐵)) → (𝑥Q → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1413impancom 451 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → ((𝑔𝐴𝐵) → (𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1514rexlimdvv 3210 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (∃𝑔𝐴𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
167, 15sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝑥Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1716ex 412 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥Q → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
183, 17syl5 34 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
1918com34 91 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
2019pm2.43d 53 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
2120com23 86 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Qcnq 10890   <Q cltq 10896  Pcnp 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-ni 10910  df-nq 10950  df-ltnq 10956  df-np 11019
This theorem is referenced by:  genpcl  11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator