Theorem genpnnp 10427

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpnnp.3	⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genpnnp.4	⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑤,𝐹,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem genpnnp

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 10412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
2		pssnel 4420	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → ∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴))
4		prpssnq 10412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
5		pssnel 4420	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ Q → ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵))
7	3, 6	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
8		exdistrv 1956	. . 3 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) ↔ (∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
9	7, 8	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
10		prub 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑓 <Q 𝑤))
11		prub 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (¬ 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑔 <Q 𝑣))
12	10, 11	im2anan9 621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
13		elprnq 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
14	13	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
15		elprnq 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ Q)
16	15	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
17		ltsonq 10391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ <Q Or Q
18		so2nr 5499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
19	17, 18	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
21		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑣 ∈ Q)
22		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑓 ∈ Q)
23	21, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
24	23	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
25		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑤 ∈ V
26		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑣 ∈ V
27		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
28		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
30		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑔 ∈ V
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	caovord3 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → (𝑤 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 <Q 𝑣))
32	31	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
33	24, 32	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
34	20, 33	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣))
35	34	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
36	35	con2d 136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
37	14, 16, 36	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
38	12, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
39	38	an4s 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
40	39	ex 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
41	40	an4s 658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
42	41	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
43	42	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
44	43	imp32 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
45	44	ralrimivv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
46		ralnex2 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
47	45, 46	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ¬ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
48		genp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
49		genp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
50	48, 49	genpelv 10422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
51	50	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
52	47, 51	mtbird 327	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵))
53	52	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
54	53	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
55	54	an4s 658	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
56	49	caovcl 7342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q)
57		eleq2 2901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) = Q → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q))
58	57	biimprcd 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → ((𝐴𝐹𝐵) = Q → (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
59	58	con3d 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
60	56, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
61	60	ad2ant2r 745	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
62	55, 61	syldc 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
63	62	exlimdvv 1935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
64	9, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊊ wpss 3937   class class class wbr 5066   Or wor 5473  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  Qcnq 10274   <_Q cltq 10280  Pcnp 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ni 10294  df-mi 10296  df-lti 10297  df-ltpq 10332  df-enq 10333  df-nq 10334  df-ltnq 10340  df-np 10403

This theorem is referenced by:  genpcl  10430