Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvrinv 21010
 Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvrinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elmapi 8413 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
32adantl 485 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6828 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐵)
5 grpvlinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 grpvlinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
7 grpvlinv.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
8 grpvlinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
95, 6, 7, 8grprinv 18148 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
101, 4, 9syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
1110mpteq2dva 5125 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))) = (𝑥𝐼0 ))
12 elmapex 8412 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1312simprd 499 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
1413adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15 fvexd 6660 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
163feqmptd 6708 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
175, 8grpinvf 18145 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
18 fcompt 6872 . . . 4 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1917, 2, 18syl2an 598 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
2014, 4, 15, 16, 19offval2 7408 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))))
21 fconstmpt 5578 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2221a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 ))
2311, 20, 223eqtr4d 2843 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7388   ↑m cmap 8391  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  0gc0g 16707  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-map 8393  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator