Theorem grpvrinv 22342

Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvrinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elmapi 8868	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		grpvlinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpvlinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		grpvlinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 18978	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
10	1, 4, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
11	10	mpteq2dva 5219	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
12		elmapex 8867	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
16	3	feqmptd 6952	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
17	5, 8	grpinvf 18974	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
18		fcompt 7128	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
19	17, 2, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
20	14, 4, 15, 16, 19	offval2 7696	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))))
21		fconstmpt 5721	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
23	11, 20, 22	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925

This theorem is referenced by: (None)