Theorem grpvrinv 21295

Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvrinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elmapi 8530	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6904	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		grpvlinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpvlinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		grpvlinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 18417	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
10	1, 4, 9	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
11	10	mpteq2dva 5150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
12		elmapex 8529	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
13	12	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
14	13	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15		fvexd 6732	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
16	3	feqmptd 6780	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
17	5, 8	grpinvf 18414	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
18		fcompt 6948	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
19	17, 2, 18	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
20	14, 4, 15, 16, 19	offval2 7488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))))
21		fconstmpt 5611	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
23	11, 20, 22	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  {csn 4541   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∘_f cof 7467   ↑_m cmap 8508  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-map 8510  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369

This theorem is referenced by: (None)