MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvrinv 21545
Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvrinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elmapi 8637 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6961 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐵)
5 grpvlinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 grpvlinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
7 grpvlinv.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
8 grpvlinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
95, 6, 7, 8grprinv 18629 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
101, 4, 9syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
1110mpteq2dva 5174 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))) = (𝑥𝐼0 ))
12 elmapex 8636 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1312simprd 496 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
1413adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15 fvexd 6789 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
163feqmptd 6837 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
175, 8grpinvf 18626 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
18 fcompt 7005 . . . 4 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1917, 2, 18syl2an 596 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
2014, 4, 15, 16, 19offval2 7553 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))))
21 fconstmpt 5649 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2221a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 ))
2311, 20, 223eqtr4d 2788 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  cmpt 5157   × cxp 5587  ccom 5593  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  f cof 7531  m cmap 8615  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator