Theorem grpvrinv 22364

Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvrinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		grpvlinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpvlinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		grpvlinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 18966	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
10	1, 4, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
11	10	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
12		elmapex 8795	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
16	3	feqmptd 6908	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
17	5, 8	grpinvf 18962	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
18		fcompt 7086	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
19	17, 2, 18	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
20	14, 4, 15, 16, 19	offval2 7651	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))))
21		fconstmpt 5693	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
23	11, 20, 22	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913

This theorem is referenced by: (None)