Theorem grpvrinv 22419

Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvrinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elmapi 8888	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		grpvlinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpvlinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		grpvlinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 19021	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
10	1, 4, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
11	10	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
12		elmapex 8887	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15		fvexd 6922	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
16	3	feqmptd 6977	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
17	5, 8	grpinvf 19017	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
18		fcompt 7153	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
19	17, 2, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
20	14, 4, 15, 16, 19	offval2 7717	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))))
21		fconstmpt 5751	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
23	11, 20, 22	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8865  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968

This theorem is referenced by: (None)