Theorem offval2 7637

Description: The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
offval2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offval2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
offval2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
offval2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
offval2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
offval2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem offval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offval2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2	1	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fnmpt 6641	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
6		offval2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fneq1d 6595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴))
8	5, 7	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		offval2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
12	11	fnmpt 6641	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
14		offval2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
15	14	fneq1d 6595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴))
16	13, 15	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
17		offval2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		inidm 4178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
19	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
20	19	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
21	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	21	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
23	8, 16, 17, 17, 18, 20, 22	offval 7626	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
24		nffvmpt1 6853	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
26		nffvmpt1 6853	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfov 7387	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
28		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
29		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
30		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
32	27, 28, 31	cbvmpt 5216	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
33		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	3	fvmpt2 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
35	33, 1, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
36	11	fvmpt2 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
37	33, 9, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
38	35, 37	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)) = (𝐵𝑅𝐶))
39	38	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
40	32, 39	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
41	23, 40	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617

This theorem is referenced by:  ofmpteq  7639  ofc12  7645  caofinvl  7647  caofcom  7652  caofass  7654  caofdi  7656  caofdir  7657  caonncan  7658  offval22  8020  ofccat  14854  ofs1  14855  o1add2  15506  o1mul2  15507  o1sub2  15508  o1dif  15512  fsumo1  15697  pwsplusgval  17372  pwsmulrval  17373  pwsvscafval  17376  pwsco1mhm  18642  pwsco2mhm  18643  pwssub  18861  gsumzaddlem  19698  gsummptfsadd  19701  gsummptfidmadd2  19703  gsumzsplit  19704  gsumsub  19725  gsummptfssub  19726  dprdfadd  19799  dprdfsub  19800  dprdfeq0  19801  dprdf11  19802  lmhmvsca  20506  rrgsupp  20761  uvcresum  21199  psrbagaddclOLD  21331  psrass1lemOLD  21342  psrass1lem  21345  psrlinv  21365  psrass1  21374  psrdi  21375  psrdir  21376  psrass23l  21377  psrcom  21378  psrass23  21379  mplsubrglem  21410  mplmonmul  21437  mplcoe1  21438  mplcoe3  21439  mplcoe5  21441  mplmon2  21469  evlslem1  21492  mhpmulcl  21539  coe1sclmul  21653  coe1sclmul2  21655  grpvrinv  21745  mhmvlin  21746  mamudi  21750  mamudir  21751  mdetunilem9  21969  tsmssub  23500  tgptsmscls  23501  tsmssplit  23503  tsmsxplem2  23505  ovolctb  24854  mbfmulc2re  25012  mbfneg  25014  mbfadd  25025  mbfsub  25026  mbfmulc2  25027  mbfmul  25091  itg2const  25105  itg2mulclem  25111  itg2mulc  25112  itg2splitlem  25113  itg2monolem1  25115  i1fibl  25172  itgitg1  25173  ibladdlem  25184  ibladd  25185  itgaddlem1  25187  iblabslem  25192  iblabs  25193  iblmulc2  25195  itgmulc2lem1  25196  bddmulibl  25203  dvmulf  25307  dvcmulf  25309  dvcof  25312  dvexp  25317  dvmptadd  25324  dvmptmul  25325  dvmptco  25336  dvef  25344  dv11cn  25365  itgsubstlem  25412  mdegmullem  25443  plypf1  25573  plyaddlem1  25574  plymullem1  25575  plyco  25602  dgrcolem1  25634  dgrcolem2  25635  plydiveu  25658  plyremlem  25664  elqaalem3  25681  iaa  25685  taylply2  25727  ulmdvlem1  25759  iblulm  25766  jensenlem2  26337  amgmlem  26339  ftalem7  26428  basellem8  26437  basellem9  26438  dchrmulid2  26600  dchrinvcl  26601  dchrfi  26603  lgseisenlem3  26725  lgseisenlem4  26726  chtppilimlem2  26822  chebbnd2  26825  chto1lb  26826  chpchtlim  26827  chpo1ub  26828  vmadivsum  26830  rpvmasumlem  26835  mudivsum  26878  selberglem1  26893  selberglem2  26894  selberg2lem  26898  selberg2  26899  pntrsumo1  26913  selbergr  26916  ofoprabco  31580  pl1cn  32536  esumadd  32656  poimirlem16  36094  poimirlem19  36097  itg2addnclem  36129  itg2addnclem3  36131  ibladdnclem  36134  itgaddnclem1  36136  iblabsnclem  36141  iblabsnc  36142  iblmulc2nc  36143  itgmulc2nclem1  36144  itgmulc2nclem2  36145  itgmulc2nc  36146  itgabsnc  36147  ftc1anclem3  36153  ftc1anclem4  36154  ftc1anclem5  36155  ftc1anclem6  36156  ftc1anclem7  36157  ftc1anclem8  36158  3factsumint1  40478  mendlmod  41506  mendassa  41507  expgrowthi  42603  expgrowth  42605  binomcxplemrat  42620  mulcncff  44101  subcncff  44111  addcncff  44115  divcncff  44122  dvsubf  44145  dvdivf  44153  fourierdlem16  44354  fourierdlem21  44359  fourierdlem22  44360  fourierdlem58  44395  fourierdlem59  44396  fourierdlem72  44409  fourierdlem83  44420  offvalfv  46408  aacllem  47238  amgmwlem  47239  amgmlemALT  47240