MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offval2 7633
Description: The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
offval2.1 (𝜑𝐴𝑉)
offval2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
offval2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑋)
offval2.4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
offval2.5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
offval2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem offval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offval2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
21ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43fnmpt 6638 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
6 offval2.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
76fneq1d 6592 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴))
85, 7mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
9 offval2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑋)
109ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶𝑋)
11 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
1211fnmpt 6638 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐶𝑋 → (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴)
14 offval2.5 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
1514fneq1d 6592 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴))
1613, 15mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
17 offval2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
18 inidm 4176 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
196adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
2019fveq1d 6841 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
2114adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
2221fveq1d 6841 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) = ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
238, 16, 17, 17, 18, 20, 22offval 7622 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))))
24 nffvmpt1 6850 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
25 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥𝑅
26 nffvmpt1 6850 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦)
2724, 25, 26nfov 7383 . . . 4 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
28 nfcv 2905 . . . 4 𝑦(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))
29 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
30 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))
3129, 30oveq12d 7371 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦)) = (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)))
3227, 28, 31cbvmpt 5214 . . 3 (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)))
33 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
343fvmpt2 6956 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵𝑊) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3533, 1, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3611fvmpt2 6956 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐶𝑋) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
3733, 9, 36syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
3835, 37oveq12d 7371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)) = (𝐵𝑅𝐶))
3938mpteq2dva 5203 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
4032, 39eqtrid 2788 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
4123, 40eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cmpt 5186   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7353  f cof 7611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613
This theorem is referenced by:  ofmpteq  7635  ofc12  7641  caofinvl  7643  caofcom  7648  caofass  7650  caofdi  7652  caofdir  7653  caonncan  7654  offval22  8016  ofccat  14846  ofs1  14847  o1add2  15498  o1mul2  15499  o1sub2  15500  o1dif  15504  fsumo1  15689  pwsplusgval  17364  pwsmulrval  17365  pwsvscafval  17368  pwsco1mhm  18634  pwsco2mhm  18635  pwssub  18852  gsumzaddlem  19689  gsummptfsadd  19692  gsummptfidmadd2  19694  gsumzsplit  19695  gsumsub  19716  gsummptfssub  19717  dprdfadd  19790  dprdfsub  19791  dprdfeq0  19792  dprdf11  19793  lmhmvsca  20491  rrgsupp  20746  uvcresum  21184  psrbagaddclOLD  21316  psrass1lemOLD  21327  psrass1lem  21330  psrlinv  21350  psrass1  21358  psrdi  21359  psrdir  21360  psrass23l  21361  psrcom  21362  psrass23  21363  mplsubrglem  21394  mplmonmul  21421  mplcoe1  21422  mplcoe3  21423  mplcoe5  21425  mplmon2  21453  evlslem1  21476  mhpmulcl  21523  coe1sclmul  21637  coe1sclmul2  21639  grpvrinv  21729  mhmvlin  21730  mamudi  21734  mamudir  21735  mdetunilem9  21953  tsmssub  23484  tgptsmscls  23485  tsmssplit  23487  tsmsxplem2  23489  ovolctb  24838  mbfmulc2re  24996  mbfneg  24998  mbfadd  25009  mbfsub  25010  mbfmulc2  25011  mbfmul  25075  itg2const  25089  itg2mulclem  25095  itg2mulc  25096  itg2splitlem  25097  itg2monolem1  25099  i1fibl  25156  itgitg1  25157  ibladdlem  25168  ibladd  25169  itgaddlem1  25171  iblabslem  25176  iblabs  25177  iblmulc2  25179  itgmulc2lem1  25180  bddmulibl  25187  dvmulf  25291  dvcmulf  25293  dvcof  25296  dvexp  25301  dvmptadd  25308  dvmptmul  25309  dvmptco  25320  dvef  25328  dv11cn  25349  itgsubstlem  25396  mdegmullem  25427  plypf1  25557  plyaddlem1  25558  plymullem1  25559  plyco  25586  dgrcolem1  25618  dgrcolem2  25619  plydiveu  25642  plyremlem  25648  elqaalem3  25665  iaa  25669  taylply2  25711  ulmdvlem1  25743  iblulm  25750  jensenlem2  26321  amgmlem  26323  ftalem7  26412  basellem8  26421  basellem9  26422  dchrmulid2  26584  dchrinvcl  26585  dchrfi  26587  lgseisenlem3  26709  lgseisenlem4  26710  chtppilimlem2  26806  chebbnd2  26809  chto1lb  26810  chpchtlim  26811  chpo1ub  26812  vmadivsum  26814  rpvmasumlem  26819  mudivsum  26862  selberglem1  26877  selberglem2  26878  selberg2lem  26882  selberg2  26883  pntrsumo1  26897  selbergr  26900  ofoprabco  31466  pl1cn  32405  esumadd  32525  poimirlem16  36061  poimirlem19  36064  itg2addnclem  36096  itg2addnclem3  36098  ibladdnclem  36101  itgaddnclem1  36103  iblabsnclem  36108  iblabsnc  36109  iblmulc2nc  36110  itgmulc2nclem1  36111  itgmulc2nclem2  36112  itgmulc2nc  36113  itgabsnc  36114  ftc1anclem3  36120  ftc1anclem4  36121  ftc1anclem5  36122  ftc1anclem6  36123  ftc1anclem7  36124  ftc1anclem8  36125  3factsumint1  40445  mendlmod  41458  mendassa  41459  expgrowthi  42555  expgrowth  42557  binomcxplemrat  42572  mulcncff  44043  subcncff  44053  addcncff  44057  divcncff  44064  dvsubf  44087  dvdivf  44095  fourierdlem16  44296  fourierdlem21  44301  fourierdlem22  44302  fourierdlem58  44337  fourierdlem59  44338  fourierdlem72  44351  fourierdlem83  44362  offvalfv  46350  aacllem  47180  amgmwlem  47181  amgmlemALT  47182
  Copyright terms: Public domain W3C validator