Theorem offval2 7734

Description: The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
offval2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offval2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
offval2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
offval2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
offval2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
offval2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem offval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offval2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2	1	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fnmpt 6720	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
6		offval2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fneq1d 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴))
8	5, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		offval2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋)
11		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
12	11	fnmpt 6720	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
14		offval2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
15	14	fneq1d 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴))
16	13, 15	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
17		offval2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		inidm 4248	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
20	19	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
21	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	21	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
23	8, 16, 17, 17, 18, 20, 22	offval 7723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
24		nffvmpt1 6931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
26		nffvmpt1 6931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfov 7478	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
28		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
29		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
30		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
32	27, 28, 31	cbvmpt 5277	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	3	fvmpt2 7040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
35	33, 1, 34	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
36	11	fvmpt2 7040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
37	33, 9, 36	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
38	35, 37	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)) = (𝐵𝑅𝐶))
39	38	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
40	32, 39	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
41	23, 40	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714

This theorem is referenced by:  ofmpteq  7736  ofc12  7743  caofinvl  7745  caofcom  7750  caofass  7752  caofdi  7754  caofdir  7755  caonncan  7756  offval22  8129  ofccat  15018  ofs1  15019  o1add2  15670  o1mul2  15671  o1sub2  15672  o1dif  15676  fsumo1  15860  pwsplusgval  17550  pwsmulrval  17551  pwsvscafval  17554  mhmvlin  18836  pwsco1mhm  18867  pwsco2mhm  18868  pwssub  19094  gsumzaddlem  19963  gsummptfsadd  19966  gsummptfidmadd2  19968  gsumzsplit  19969  gsumsub  19990  gsummptfssub  19991  dprdfadd  20064  dprdfsub  20065  dprdfeq0  20066  dprdf11  20067  rrgsupp  20723  lmhmvsca  21067  uvcresum  21836  psrass1lem  21975  psrlinv  21998  psrass1  22007  psrdi  22008  psrdir  22009  psrass23l  22010  psrcom  22011  psrass23  22012  mplsubrglem  22047  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplcoe3  22079  mplcoe5  22081  mplmon2  22108  evlslem1  22129  mhpmulcl  22176  coe1sclmul  22306  coe1sclmul2  22308  grpvrinv  22424  mamudi  22428  mamudir  22429  mdetunilem9  22647  tsmssub  24178  tgptsmscls  24179  tsmssplit  24181  tsmsxplem2  24183  ovolctb  25544  mbfmulc2re  25702  mbfneg  25704  mbfadd  25715  mbfsub  25716  mbfmulc2  25717  mbfmul  25781  itg2const  25795  itg2mulclem  25801  itg2mulc  25802  itg2splitlem  25803  itg2monolem1  25805  i1fibl  25863  itgitg1  25864  ibladdlem  25875  ibladd  25876  itgaddlem1  25878  iblabslem  25883  iblabs  25884  iblmulc2  25886  itgmulc2lem1  25887  bddmulibl  25894  dvmulf  26000  dvcmulf  26002  dvcof  26006  dvexp  26011  dvmptadd  26018  dvmptmul  26019  dvmptco  26030  dvef  26038  dv11cn  26060  itgsubstlem  26109  mdegmullem  26137  plypf1  26271  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  plyco  26300  dgrcolem1  26333  dgrcolem2  26334  plydiveu  26358  plyremlem  26364  elqaalem3  26381  iaa  26385  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  ulmdvlem1  26461  iblulm  26468  jensenlem2  27049  amgmlem  27051  ftalem7  27140  basellem8  27149  basellem9  27150  dchrmullid  27314  dchrinvcl  27315  dchrfi  27317  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  chtppilimlem2  27536  chebbnd2  27539  chto1lb  27540  chpchtlim  27541  chpo1ub  27542  vmadivsum  27544  rpvmasumlem  27549  mudivsum  27592  selberglem1  27607  selberglem2  27608  selberg2lem  27612  selberg2  27613  pntrsumo1  27627  selbergr  27630  ofoprabco  32682  pl1cn  33901  esumadd  34021  poimirlem16  37596  poimirlem19  37599  itg2addnclem  37631  itg2addnclem3  37633  ibladdnclem  37636  itgaddnclem1  37638  iblabsnclem  37643  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nclem1  37646  itgmulc2nclem2  37647  itgmulc2nc  37648  itgabsnc  37649  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  3factsumint1  41978  mendlmod  43150  mendassa  43151  expgrowthi  44302  expgrowth  44304  binomcxplemrat  44319  mulcncff  45791  subcncff  45801  addcncff  45805  divcncff  45812  dvsubf  45835  dvdivf  45843  fourierdlem16  46044  fourierdlem21  46049  fourierdlem22  46050  fourierdlem58  46085  fourierdlem59  46086  fourierdlem72  46099  fourierdlem83  46110  offvalfv  48067  aacllem  48895  amgmwlem  48896  amgmlemALT  48897