Theorem offval2 7700

Description: The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
offval2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offval2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
offval2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
offval2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
offval2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
offval2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem offval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offval2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2	1	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fnmpt 6679	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
6		offval2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fneq1d 6632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴))
8	5, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		offval2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
12	11	fnmpt 6679	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
13	10, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
14		offval2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
15	14	fneq1d 6632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴))
16	13, 15	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
17		offval2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		inidm 4179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
20	19	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
21	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	21	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
23	8, 16, 17, 17, 18, 20, 22	offval 7689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
24		nffvmpt1 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
26		nffvmpt1 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfov 7446	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
28		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
29		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
30		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
32	27, 28, 31	cbvmpt 5215	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)))
33		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	3	fvmpt2 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
35	33, 1, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
36	11	fvmpt2 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
37	33, 9, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
38	35, 37	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥)) = (𝐵𝑅𝐶))
39	38	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
40	32, 39	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
41	23, 40	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ↦ cmpt 5194   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680

This theorem is used by:  offvalfv  7702  ofmpteq  7703  ofc12  7710  caofinvl  7712  caofcom  7717  caofidlcan  7718  caofass  7720  caofdi  7722  caofdir  7723  caonncan  7724  offval22  8085  ofccat  15026  ofs1  15027  o1add2  15695  o1mul2  15696  o1sub2  15697  o1dif  15701  fsumo1  15883  pwsplusgval  17562  pwsmulrval  17563  pwsvscafval  17566  mhmvlin  18883  pwsco1mhm  18915  pwsco2mhm  18916  pwssub  19144  gsumzaddlem  20015  gsummptfsadd  20018  gsummptfidmadd2  20020  gsumzsplit  20021  gsumsub  20042  gsummptfssub  20043  dprdfadd  20116  dprdfsub  20117  dprdfeq0  20118  dprdf11  20119  rrgsupp  20830  lmhmvsca  21196  uvcresum  21973  psrass1lem  22113  psrlinv  22135  psrass1  22143  psrdi  22144  psrdir  22145  psrass23l  22146  psrcom  22147  psrass23  22148  mplsubrglem  22183  mplmonmul  22217  mplcoe1  22218  mplcoe3  22219  mplcoe5  22221  mplmon2  22242  evlslem1  22263  mhpmulcl  22342  coe1sclmul  22473  coe1sclmul2  22475  grpvrinv  22586  mamudi  22590  mamudir  22591  mdetunilem9  22807  tsmssub  24337  tgptsmscls  24338  tsmssplit  24340  tsmsxplem2  24342  ovolctb  25680  mbfmulc2re  25838  mbfneg  25840  mbfadd  25851  mbfsub  25852  mbfmulc2  25853  mbfmul  25916  itg2const  25930  itg2mulclem  25936  itg2mulc  25937  itg2splitlem  25938  itg2monolem1  25940  i1fibl  25998  itgitg1  25999  ibladdlem  26010  ibladd  26011  itgaddlem1  26013  iblabslem  26018  iblabs  26019  iblmulc2  26021  itgmulc2lem1  26022  bddmulibl  26029  dvmulf  26133  dvcmulf  26135  dvcof  26138  dvexp  26143  dvmptadd  26150  dvmptmul  26151  dvmptco  26162  dvef  26170  dv11cn  26191  itgsubstlem  26238  mdegmullem  26266  plypf1  26400  plyaddlem1  26401  plymullem1  26402  plyco  26429  dgrcolem1  26461  dgrcolem2  26462  plydiveu  26490  plyremlem  26496  elqaalem3  26513  iaa  26519  taylply2  26562  ulmdvlem1  26594  iblulm  26601  jensenlem2  27183  amgmlem  27185  ftalem7  27274  basellem8  27283  basellem9  27284  dchrmullid  27447  dchrinvcl  27448  dchrfi  27450  lgseisenlem3  27572  lgseisenlem4  27573  chtppilimlem2  27669  chebbnd2  27672  chto1lb  27673  chpchtlim  27674  chpo1ub  27675  vmadivsum  27677  rpvmasumlem  27682  mudivsum  27725  selberglem1  27740  selberglem2  27741  selberg2lem  27745  selberg2  27746  pntrsumo1  27760  selbergr  27763  ofoprabco  33056  psrmonmul  33980  pl1cn  34385  esumadd  34487  poimirlem16  38320  poimirlem19  38323  itg2addnclem  38355  itg2addnclem3  38357  ibladdnclem  38360  itgaddnclem1  38362  iblabsnclem  38367  iblabsnc  38368  iblmulc2nc  38369  itgmulc2nclem1  38370  itgmulc2nclem2  38371  itgmulc2nc  38372  itgabsnc  38373  ftc1anclem3  38379  ftc1anclem4  38380  ftc1anclem5  38381  ftc1anclem6  38382  ftc1anclem7  38383  ftc1anclem8  38384  3factsumint1  42821  mendlmod  43949  mendassa  43950  expgrowthi  45076  expgrowth  45078  binomcxplemrat  45093  mulcncff  46617  subcncff  46627  addcncff  46631  divcncff  46638  dvsubf  46661  dvdivf  46669  fourierdlem16  46870  fourierdlem21  46875  fourierdlem22  46876  fourierdlem58  46911  fourierdlem59  46912  fourierdlem72  46925  fourierdlem83  46936  aacllem  50654  amgmwlem  50683  amgmlemALT  50684