Theorem hausflf 24316

Description: If a function has its values in a Hausdorff space, then it has at most one limit value. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hausflf.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausflf	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐿   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem hausflf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hausflimi 24299	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿)))
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿)))
3		haustop 23649	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
4		hausflf.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	toptopon 23235	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	3, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		flfval 24309	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿)))
8	6, 7	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿)))
9	8	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿))))
10	9	mobidv 2574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿))))
11	2, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃*wmo 2562  ∪ cuni 4866  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  Hauscha 23626  Filcfil 24164   FilMap cfm 24252   fLim cflim 24253   fLimf cflf 24254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-fbas 21675  df-top 23212  df-topon 23229  df-nei 23416  df-haus 23633  df-fil 24165  df-flim 24258  df-flf 24259

This theorem is used by:  hausflf2  24317  cnextfun  24383  haustsms  24455  limcmo  26202