Theorem limcmo 25803

Description: If 𝐵 is a limit point of the domain of the function 𝐹, then there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem limcmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 24692	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ Haus
3		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4		limcflf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		limcflf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) = (𝐴 ∖ {𝐵})
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵}))
8	3, 4, 5, 1, 6, 7	limcflflem 25801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
9		difss 4084	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
10		fssres 6685	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
11	3, 9, 10	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
12	1	cnfldtopon 24690	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13	12	toponunii 22824	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
14	13	hausflf 23905	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
15	2, 8, 11, 14	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
16	3, 4, 5, 1, 6, 7	limcflf 25802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
17	16	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
18	17	mobidv 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
19	15, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2532   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4574   ↾ cres 5616  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996   ↾_t crest 17316  TopOpenctopn 17317  ℂ_fldccnfld 21284  neicnei 23005  limPtclp 23042  Hauscha 23216  Filcfil 23753   fLimf cflf 23843   lim_ℂ climc 25783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-icc 13244  df-fz 13400  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-rest 17318  df-topn 17319  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-limc 25787

This theorem is referenced by:  perfdvf  25824  ellimciota  45633