Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmo 24464
 Description: If 𝐵 is a limit point of the domain of the function 𝐹, then there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
limcmo (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldhaus 23369 . . 3 𝐾 ∈ Haus
3 limcflf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4 limcflf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
5 limcflf.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
6 eqid 2821 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵}) = (𝐴 ∖ {𝐵})
7 eqid 2821 . . . 4 (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵}))
83, 4, 5, 1, 6, 7limcflflem 24462 . . 3 (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
9 difss 4084 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
10 fssres 6517 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
113, 9, 10sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
121cnfldtopon 23367 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312toponunii 21500 . . . 4 ℂ = 𝐾
1413hausflf 22581 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
152, 8, 11, 14mp3an2i 1463 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
163, 4, 5, 1, 6, 7limcflf 24463 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
1716eleq2d 2897 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
1817mobidv 2633 . 2 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
1915, 18mpbird 260 1 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃*wmo 2621   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4540   ↾ cres 5530  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512   ↾t crest 16673  TopOpenctopn 16674  ℂfldccnfld 20521  neicnei 21681  limPtclp 21718  Hauscha 21892  Filcfil 22429   fLimf cflf 22519   limℂ climc 24444 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-icc 12723  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-rest 16675  df-topn 16676  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-limc 24448 This theorem is referenced by:  perfdvf  24485  ellimciota  42079
 Copyright terms: Public domain W3C validator