Theorem eighmorth 31943

Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmorth	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem eighmorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 31938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		eleigveccl 31938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
6	1, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
7	6	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
9		eighmre 31942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
12		eighmre 31942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
15	11, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ))
16	8, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
17	16	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
18		eigvec1 31941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
19	18	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
20	1, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
22		eigvec1 31941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ))
23	22	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
24	1, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
25	24	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
26	21, 25	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
27	26	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
28	12	cjred 15168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) = ((eigval‘𝑇)‘𝐵))
29	28	neeq2d 2985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
30	29	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
31	30	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
32	31	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
33	27, 32	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵))))
34		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝑇 ∈ HrmOp)
35		hmop 31901	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
36	34, 4, 7, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
37	36	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
38		eigorth 31817	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
39	38	biimpa 476	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
40	17, 33, 37, 39	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  ∗ccj 15038   ℋchba 30898   ·_ℎ csm 30900   ·_ih csp 30901  0_ℎc0v 30903  HrmOpcho 30929  eigveccei 30938  eigvalcel 30939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvmulass 30986  ax-hvdistr1 30987  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064  ax-hcompl 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cfil 25188  df-cau 25189  df-cmet 25190  df-grpo 30472  df-gid 30473  df-ginv 30474  df-gdiv 30475  df-ablo 30524  df-vc 30538  df-nv 30571  df-va 30574  df-ba 30575  df-sm 30576  df-0v 30577  df-vs 30578  df-nmcv 30579  df-ims 30580  df-dip 30680  df-ssp 30701  df-ph 30792  df-cbn 30842  df-hnorm 30947  df-hba 30948  df-hvsub 30950  df-hlim 30951  df-hcau 30952  df-sh 31186  df-ch 31200  df-oc 31231  df-ch0 31232  df-span 31288  df-hmop 31823  df-eigvec 31832  df-eigval 31833

This theorem is referenced by: (None)