Theorem eighmorth 31944

Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmorth	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem eighmorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 31939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		eleigveccl 31939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
6	1, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
7	6	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
9		eighmre 31943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
12		eighmre 31943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
15	11, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ))
16	8, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
17	16	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
18		eigvec1 31942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
19	18	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
20	1, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
22		eigvec1 31942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ))
23	22	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
24	1, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
25	24	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
26	21, 25	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
27	26	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
28	12	cjred 15133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) = ((eigval‘𝑇)‘𝐵))
29	28	neeq2d 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
30	29	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
31	30	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
32	31	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
33	27, 32	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵))))
34		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝑇 ∈ HrmOp)
35		hmop 31902	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
36	34, 4, 7, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
37	36	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
38		eigorth 31818	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
39	38	biimpa 476	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
40	17, 33, 37, 39	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  ∗ccj 15003   ℋchba 30899   ·_ℎ csm 30901   ·_ih csp 30902  0_ℎc0v 30904  HrmOpcho 30930  eigveccei 30939  eigvalcel 30940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-lm 23144  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cfil 25182  df-cau 25183  df-cmet 25184  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-span 31289  df-hmop 31824  df-eigvec 31833  df-eigval 31834

This theorem is referenced by: (None)