Theorem eighmorth 31945

Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmorth	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem eighmorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 31940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		eleigveccl 31940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
6	1, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
7	6	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
9		eighmre 31944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
12		eighmre 31944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
15	11, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ))
16	8, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
17	16	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
18		eigvec1 31943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
19	18	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
20	1, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
22		eigvec1 31943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ))
23	22	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
24	1, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
25	24	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
26	21, 25	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
27	26	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
28	12	cjred 15245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) = ((eigval‘𝑇)‘𝐵))
29	28	neeq2d 2992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
30	29	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
31	30	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
32	31	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
33	27, 32	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵))))
34		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝑇 ∈ HrmOp)
35		hmop 31903	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
36	34, 4, 7, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
37	36	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
38		eigorth 31819	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
39	38	biimpa 476	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
40	17, 33, 37, 39	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  ∗ccj 15115   ℋchba 30900   ·_ℎ csm 30902   ·_ih csp 30903  0_ℎc0v 30905  HrmOpcho 30931  eigveccei 30940  eigvalcel 30941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cfil 25207  df-cau 25208  df-cmet 25209  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-ssp 30703  df-ph 30794  df-cbn 30844  df-hnorm 30949  df-hba 30950  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-hcau 30954  df-sh 31188  df-ch 31202  df-oc 31233  df-ch0 31234  df-span 31290  df-hmop 31825  df-eigvec 31834  df-eigval 31835

This theorem is referenced by: (None)