HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eighmorth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eighmorth 31484
Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eighmorth (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
Proof of Theorem eighmorth
StepHypRef Expression
1 hmopf 31394 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
2 eleigveccl 31479 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
31, 2sylan 578 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
43adantr 479 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
5 eleigveccl 31479 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
61, 5sylan 578 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
76adantlr 711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
84, 7jca 510 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹))
9 eighmre 31483 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ ℝ)
109recnd 11246 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚)
1110adantr 479 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚)
12 eighmre 31483 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ ℝ)
1312recnd 11246 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)
1413adantlr 711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)
1511, 14jca 510 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚))
168, 15jca 510 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)))
1716adantrr 713 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)))
18 eigvec1 31482 . . . . . . . 8 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1918simpld 493 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
201, 19sylan 578 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
2120adantr 479 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
22 eigvec1 31482 . . . . . . . 8 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡) ∧ 𝐡 β‰  0β„Ž))
2322simpld 493 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
241, 23sylan 578 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
2524adantlr 711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
2621, 25jca 510 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)))
2726adantrr 713 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)))
2812cjred 15177 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) = ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))
2928neeq2d 2999 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ↔ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3029biimpar 476 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3130anasss 465 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3231adantlr 711 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3327, 32jca 510 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
34 simpll 763 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑇 ∈ HrmOp)
35 hmop 31442 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
3634, 4, 7, 35syl3anc 1369 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
3736adantrr 713 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
38 eigorth 31358 . . 3 ((((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)) ∧ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡) ↔ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0))
3938biimpa 475 . 2 (((((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)) ∧ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))) ∧ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡)) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
4017, 33, 37, 39syl21anc 834 1 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  βˆ—ccj 15047   β„‹chba 30439   Β·β„Ž csm 30441   Β·ih csp 30442  0β„Žc0v 30444  HrmOpcho 30470  eigveccei 30479  eigvalcel 30480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-span 30829  df-hmop 31364  df-eigvec 31373  df-eigval 31374
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator