Theorem eighmorth 32448

Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmorth	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem eighmorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 32358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 32443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		eleigveccl 32443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
6	1, 5	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
7	6	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
9		eighmre 32447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
12		eighmre 32447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
15	11, 14	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ))
16	8, 15	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
17	16	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
18		eigvec1 32446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
19	18	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
20	1, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
22		eigvec1 32446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ))
23	22	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
24	1, 23	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
25	24	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
26	21, 25	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
27	26	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
28	12	cjred 15316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) = ((eigval‘𝑇)‘𝐵))
29	28	neeq2d 3015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
30	29	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
31	30	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
32	31	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
33	27, 32	jca 521	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵))))
34		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝑇 ∈ HrmOp)
35		hmop 32406	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
36	34, 4, 7, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
37	36	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
38		eigorth 32322	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
39	38	biimpa 482	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
40	17, 33, 37, 39	syl21anc 851	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  ∗ccj 15186   ℋchba 31403   ·_ℎ csm 31405   ·_ih csp 31406  0_ℎc0v 31408  HrmOpcho 31434  eigveccei 31443  eigvalcel 31444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvmulass 31491  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568  ax-his4 31569  ax-hcompl 31686

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-lm 23457  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cfil 25486  df-cau 25487  df-cmet 25488  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-dip 31185  df-ssp 31206  df-ph 31297  df-cbn 31347  df-hnorm 31452  df-hba 31453  df-hvsub 31455  df-hlim 31456  df-hcau 31457  df-sh 31691  df-ch 31705  df-oc 31736  df-ch0 31737  df-span 31793  df-hmop 32328  df-eigvec 32337  df-eigval 32338

This theorem is used by: (None)