Theorem eighmorth 29374

Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmorth	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem eighmorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 29284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 29369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		eleigveccl 29369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
6	1, 5	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
7	6	adantlr 706	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐵 ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 507	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
9		eighmre 29373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
12		eighmre 29373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 706	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)
15	11, 14	jca 507	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ))
16	8, 15	jca 507	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
17	16	adantrr 708	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)))
18		eigvec1 29372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
19	18	simpld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
20	1, 19	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
21	20	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴))
22		eigvec1 29372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ))
23	22	simpld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
24	1, 23	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
25	24	adantlr 706	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵))
26	21, 25	jca 507	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
27	26	adantrr 708	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)))
28	12	cjred 14350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) = ((eigval‘𝑇)‘𝐵))
29	28	neeq2d 3059	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
30	29	biimpar 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
31	30	anasss 460	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
32	31	adantlr 706	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))
33	27, 32	jca 507	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵))))
34		simpll 783	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝑇 ∈ HrmOp)
35		hmop 29332	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
36	34, 4, 7, 35	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ 𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
37	36	adantrr 708	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
38		eigorth 29248	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
39	38	biimpa 470	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℂ)) ∧ (((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ (𝑇‘𝐵) = (((eigval‘𝑇)‘𝐵) ·ℎ 𝐵)) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ (∗‘((eigval‘𝑇)‘𝐵)))) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
40	17, 33, 37, 39	syl21anc 871	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) ∧ (𝐵 ∈ (eigvec‘𝑇) ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ≠ ((eigval‘𝑇)‘𝐵))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  ∗ccj 14220   ℋchba 28327   ·_ℎ csm 28329   ·_ih csp 28330  0_ℎc0v 28332  HrmOpcho 28358  eigveccei 28367  eigvalcel 28368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-lm 21411  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-dip 28107  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661  df-span 28719  df-hmop 29254  df-eigvec 29263  df-eigval 29264

This theorem is referenced by: (None)