HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eighmorth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eighmorth 31003
Description: Eigenvectors of a Hermitian operator with distinct eigenvalues are orthogonal. Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eighmorth (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
Proof of Theorem eighmorth
StepHypRef Expression
1 hmopf 30913 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
2 eleigveccl 30998 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
31, 2sylan 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
43adantr 481 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
5 eleigveccl 30998 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
61, 5sylan 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
76adantlr 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
84, 7jca 512 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹))
9 eighmre 31002 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ ℝ)
109recnd 11207 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚)
1110adantr 481 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚)
12 eighmre 31002 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ ℝ)
1312recnd 11207 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)
1413adantlr 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)
1511, 14jca 512 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚))
168, 15jca 512 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)))
1716adantrr 715 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)))
18 eigvec1 31001 . . . . . . . 8 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1918simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
201, 19sylan 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴))
22 eigvec1 31001 . . . . . . . 8 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡) ∧ 𝐡 β‰  0β„Ž))
2322simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
241, 23sylan 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
2524adantlr 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡))
2621, 25jca 512 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)))
2726adantrr 715 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)))
2812cjred 15138 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) = ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))
2928neeq2d 3000 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ↔ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3029biimpar 478 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3130anasss 467 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3231adantlr 713 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
3327, 32jca 512 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
34 simpll 765 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑇 ∈ HrmOp)
35 hmop 30961 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
3634, 4, 7, 35syl3anc 1371 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ 𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
3736adantrr 715 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡))
38 eigorth 30877 . . 3 ((((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)) ∧ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡) ↔ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0))
3938biimpa 477 . 2 (((((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∈ β„‚)) ∧ (((π‘‡β€˜π΄) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Β·β„Ž 𝐴) ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅) Β·β„Ž 𝐡)) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  (βˆ—β€˜((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))) ∧ (𝐴 Β·ih (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) Β·ih 𝐡)) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
4017, 33, 37, 39syl21anc 836 1 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡)) ∧ (𝐡 ∈ (eigvecβ€˜π‘‡) ∧ ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΄) β‰  ((eigvalβ€˜π‘‡)β€˜π΅))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  0cc0 11075  βˆ—ccj 15008   β„‹chba 29958   Β·β„Ž csm 29960   Β·ih csp 29961  0β„Žc0v 29963  HrmOpcho 29989  eigveccei 29998  eigvalcel 29999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30038  ax-hfvadd 30039  ax-hvcom 30040  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvmulass 30046  ax-hvdistr1 30047  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049  ax-hfi 30118  ax-his1 30121  ax-his2 30122  ax-his3 30123  ax-his4 30124  ax-hcompl 30241
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-lm 22632  df-haus 22718  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cfil 24671  df-cau 24672  df-cmet 24673  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639  df-ims 29640  df-dip 29740  df-ssp 29761  df-ph 29852  df-cbn 29902  df-hnorm 30007  df-hba 30008  df-hvsub 30010  df-hlim 30011  df-hcau 30012  df-sh 30246  df-ch 30260  df-oc 30291  df-ch0 30292  df-span 30348  df-hmop 30883  df-eigvec 30892  df-eigval 30893
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator