Theorem hmops 32049

Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmops	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmops

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31903	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hmopf 31903	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		hoaddcl 31787	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
5		hmop 31951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		hmop 31951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
8	7	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	6, 8	oveqan12d 7450	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	9	anandirs 679	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
11	1, 2	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
12		hosval 31769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦) = ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
14	13	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
15	14	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
16		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
18	17	ad2ant2rl 749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
20	19	ad2ant2l 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
21		his7 31119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
23	15, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
24	11, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
25		hosval 31769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
27	26	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
28	27	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
29		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
30	29	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
31		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
32	31	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
33		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
34		ax-his2 31112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
35	30, 32, 33, 34	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
36	28, 35	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
37	11, 36	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	10, 24, 37	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
39	38	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
40		elhmop 31902	. 2 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp ↔ ((𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
41	4, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   + caddc 11156   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ih csp 30951   +_op chos 30967  HrmOpcho 30979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-hosum 31759  df-hmop 31873

This theorem is referenced by:  hmopd  32051  leopadd  32161  opsqrlem4  32172