Theorem hmops 32504

Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmops	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmops

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 32358	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hmopf 32358	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		hoaddcl 32242	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
5		hmop 32406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		hmop 32406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
8	7	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	6, 8	oveqan12d 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	9	anandirs 692	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
11	1, 2	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
12		hosval 32224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦) = ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
14	13	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
15	14	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
16		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ffvelcdm 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
18	17	ad2ant2rl 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19		ffvelcdm 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
20	19	ad2ant2l 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
21		his7 31574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
23	15, 22	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
24	11, 23	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
25		hosval 32224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
27	26	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
28	27	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
29		ffvelcdm 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
30	29	ad2ant2r 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
31		ffvelcdm 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
32	31	ad2ant2lr 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
33		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
34		ax-his2 31567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
35	30, 32, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
36	28, 35	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
37	11, 36	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	10, 24, 37	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
39	38	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
40		elhmop 32357	. 2 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp ↔ ((𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
41	4, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   + caddc 11130   ℋchba 31403   +_ℎ cva 31404   ·_ih csp 31406   +_op chos 31422  HrmOpcho 31434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-hosum 32214  df-hmop 32328

This theorem is used by:  hmopd  32506  leopadd  32616  opsqrlem4  32627