HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmops Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmops 31745
Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmops ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Proof of Theorem hmops
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31599 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 hmopf 31599 . . 3 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 hoaddcl 31483 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
5 hmop 31647 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
653expb 1117 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
7 hmop 31647 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
873expb 1117 . . . . . 6 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
96, 8oveqan12d 7421 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
109anandirs 676 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
111, 2anim12i 612 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
12 hosval 31465 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7418 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
14133expa 1115 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
1514adantrl 713 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
16 simprl 768 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
17 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1817ad2ant2rl 746 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
19 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2019ad2ant2l 743 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
21 his7 30815 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2315, 22eqtrd 2764 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2411, 23sylan 579 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
25 hosval 31465 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
2625oveq1d 7417 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
27263expa 1115 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2827adantrr 714 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
29 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3029ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
31 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3231ad2ant2lr 745 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
33 simprr 770 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
34 ax-his2 30808 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3530, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3628, 35eqtrd 2764 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3711, 36sylan 579 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3810, 24, 373eqtr4d 2774 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3938ralrimivva 3192 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
40 elhmop 31598 . 2 ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†” ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
414, 39, 40sylanbrc 582 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   + caddc 11110   โ„‹chba 30644   +โ„Ž cva 30645   ยทih csp 30647   +op chos 30663  HrmOpcho 30675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-2 12273  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-hosum 31455  df-hmop 31569
This theorem is referenced by:  hmopd  31747  leopadd  31857  opsqrlem4  31868
  Copyright terms: Public domain W3C validator