Theorem hmops 32383

Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmops	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmops

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 32237	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hmopf 32237	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		hoaddcl 32121	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
5		hmop 32285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expb 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		hmop 32285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
8	7	3expb 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	6, 8	oveqan12d 7431	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	9	anandirs 691	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
11	1, 2	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
12		hosval 32103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦) = ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
14	13	3expa 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
15	14	adantrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
16		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
18	17	ad2ant2rl 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
20	19	ad2ant2l 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
21		his7 31453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
23	15, 22	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
24	11, 23	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
25		hosval 32103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
27	26	3expa 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
28	27	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
29		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
30	29	ad2ant2r 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
31		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
32	31	ad2ant2lr 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
33		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
34		ax-his2 31446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
35	30, 32, 33, 34	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
36	28, 35	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
37	11, 36	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	10, 24, 37	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
39	38	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
40		elhmop 32236	. 2 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp ↔ ((𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
41	4, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   + caddc 11109   ℋchba 31282   +_ℎ cva 31283   ·_ih csp 31285   +_op chos 31301  HrmOpcho 31313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 31362  ax-hfvadd 31363  ax-hfi 31442  ax-his1 31445  ax-his2 31446

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-hosum 32093  df-hmop 32207

This theorem is used by:  hmopd  32385  leopadd  32495  opsqrlem4  32506