Theorem hmops 32116

Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmops	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmops

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31970	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hmopf 31970	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		hoaddcl 31854	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
5		hmop 32018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expb 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		hmop 32018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
8	7	3expb 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦)) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	6, 8	oveqan12d 7382	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	9	anandirs 685	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
11	1, 2	anim12i 619	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
12		hosval 31836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦) = ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
14	13	3expa 1124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
15	14	adantrl 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))))
16		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
18	17	ad2ant2rl 755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
20	19	ad2ant2l 752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ)
21		his7 31186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇‘𝑦) +ℎ (𝑈‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
23	15, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
24	11, 23	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈‘𝑦))))
25		hosval 31836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
27	26	3expa 1124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
28	27	adantrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦))
29		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
30	29	ad2ant2r 753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
31		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
32	31	ad2ant2lr 754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
33		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
34		ax-his2 31179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
35	30, 32, 33, 34	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
36	28, 35	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
37	11, 36	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	10, 24, 37	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
39	38	ralrimivva 3183	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
40		elhmop 31969	. 2 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp ↔ ((𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
41	4, 39, 40	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   + caddc 11039   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ih csp 31018   +_op chos 31034  HrmOpcho 31046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-hosum 31826  df-hmop 31940

This theorem is referenced by:  hmopd  32118  leopadd  32228  opsqrlem4  32239