HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmops Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmops 32039
Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmops ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmops
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31893 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 hmopf 31893 . . 3 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3 hoaddcl 31777 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
5 hmop 31941 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
653expb 1121 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
7 hmop 31941 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑈𝑦)) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦))
873expb 1121 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑈𝑦)) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦))
96, 8oveqan12d 7450 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
109anandirs 679 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
111, 2anim12i 613 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
12 hosval 31759 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦) = ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦)))
1312oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦))))
14133expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦))))
1514adantrl 716 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦))))
16 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1817ad2ant2rl 749 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
19 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑈𝑦) ∈ ℋ)
2019ad2ant2l 746 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈𝑦) ∈ ℋ)
21 his7 31109 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇𝑦) + (𝑈𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))))
2315, 22eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))))
2411, 23sylan 580 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) + (𝑥 ·ih (𝑈𝑦))))
25 hosval 31759 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)))
2625oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑦))
27263expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑦))
2827adantrr 717 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑦))
29 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
3029ad2ant2r 747 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
31 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
3231ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
33 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
34 ax-his2 31102 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
3530, 32, 33, 34syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
3628, 35eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
3711, 36sylan 580 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑦)))
3810, 24, 373eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
3938ralrimivva 3202 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦))
40 elhmop 31892 . 2 ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp ↔ ((𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑦)) = (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
414, 39, 40sylanbrc 583 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   + caddc 11158  chba 30938   + cva 30939   ·ih csp 30941   +op chos 30957  HrmOpcho 30969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-hosum 31749  df-hmop 31863
This theorem is referenced by:  hmopd  32041  leopadd  32151  opsqrlem4  32162
  Copyright terms: Public domain W3C validator