HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmops Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmops 31823
Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmops ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Proof of Theorem hmops
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31677 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 hmopf 31677 . . 3 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 hoaddcl 31561 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
5 hmop 31725 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
653expb 1118 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
7 hmop 31725 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
873expb 1118 . . . . . 6 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
96, 8oveqan12d 7433 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
109anandirs 678 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
111, 2anim12i 612 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
12 hosval 31543 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
14133expa 1116 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
1514adantrl 715 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
17 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1817ad2ant2rl 748 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
19 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2019ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
21 his7 30893 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2315, 22eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2411, 23sylan 579 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
25 hosval 31543 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
2625oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
27263expa 1116 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2827adantrr 716 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
29 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3029ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
31 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3231ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
33 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
34 ax-his2 30886 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3530, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3628, 35eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3711, 36sylan 579 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3810, 24, 373eqtr4d 2778 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3938ralrimivva 3196 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
40 elhmop 31676 . 2 ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†” ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
414, 39, 40sylanbrc 582 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3057  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   + caddc 11135   โ„‹chba 30722   +โ„Ž cva 30723   ยทih csp 30725   +op chos 30741  HrmOpcho 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-hosum 31533  df-hmop 31647
This theorem is referenced by:  hmopd  31825  leopadd  31935  opsqrlem4  31946
  Copyright terms: Public domain W3C validator