HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmops Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmops 31268
Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmops ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Proof of Theorem hmops
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31122 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 hmopf 31122 . . 3 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 hoaddcl 31006 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
5 hmop 31170 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
653expb 1120 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
7 hmop 31170 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
873expb 1120 . . . . . 6 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
96, 8oveqan12d 7427 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
109anandirs 677 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
111, 2anim12i 613 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
12 hosval 30988 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
14133expa 1118 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
1514adantrl 714 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
16 simprl 769 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
17 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1817ad2ant2rl 747 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2019ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
21 his7 30338 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2315, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
2411, 23sylan 580 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
25 hosval 30988 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
2625oveq1d 7423 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
27263expa 1118 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2827adantrr 715 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
29 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3029ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
31 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3231ad2ant2lr 746 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
33 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
34 ax-his2 30331 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3530, 32, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3628, 35eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3711, 36sylan 580 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3810, 24, 373eqtr4d 2782 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3938ralrimivva 3200 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
40 elhmop 31121 . 2 ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†” ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
414, 39, 40sylanbrc 583 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   + caddc 11112   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทih csp 30170   +op chos 30186  HrmOpcho 30198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-hosum 30978  df-hmop 31092
This theorem is referenced by:  hmopd  31270  leopadd  31380  opsqrlem4  31391
  Copyright terms: Public domain W3C validator