Theorem nmopleid 32432

Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopleid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Proof of Theorem nmopleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmoplin 32235	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		nmlnopne0 32292	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
3	2	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
4	1, 3	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
5	4	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
6		rereccl 11933	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
7	6	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ∈ HrmOp)
9		idhmop 32275	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
10		hmopm 32314	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
11	9, 10	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
12	11	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
13		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
14		hmopf 32167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		nmopgt0 32205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
16	15	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
17	14, 16	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
18	17	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
19	13, 18	recgt0d 12149	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
20		0re 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ltle 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
22	20, 6, 21	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
23	22	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
24	19, 23	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
25		leopnmid 32431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
27		leopmul2i 32428	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)) ∧ 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
28	7, 8, 12, 24, 26, 27	syl32anc 1403	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
29		recn 11190	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
30		reccl 11879	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
31		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
32		hoif 32047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
33		f1of 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
35		homulass 32095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
36	34, 35	mp3an3 1476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
37	30, 31, 36	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
38		recid2 11887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = 1)
39	38	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = (1 ·op Iop ))
40	37, 39	eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = (1 ·op Iop ))
41		homullid 32093	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (1 ·op Iop ) = Iop )
42	34, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·op Iop ) = Iop
43	40, 42	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
44	29, 43	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
45	44	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
46	28, 45	breqtrd 5141	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
47	5, 46	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
48	47	3impa 1125	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   / cdiv 11871   ℋchba 31212   ·_op chot 31232   0_hop ch0o 31236   I_op chio 31237  norm_opcnop 31238  LinOpclo 31240  HrmOpcho 31243   ≤_op cleo 31251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvdistr1 31301  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378  ax-hcompl 31495

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-lm 23355  df-t1 23440  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cfil 25383  df-cau 25384  df-cmet 25385  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-gdiv 30789  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-vs 30892  df-nmcv 30893  df-ims 30894  df-dip 30994  df-ssp 31015  df-lno 31037  df-nmoo 31038  df-0o 31040  df-ph 31106  df-cbn 31156  df-hnorm 31261  df-hba 31262  df-hvsub 31264  df-hlim 31265  df-hcau 31266  df-sh 31500  df-ch 31514  df-oc 31545  df-ch0 31546  df-shs 31601  df-pjh 31688  df-hosum 32023  df-homul 32024  df-hodif 32025  df-h0op 32041  df-iop 32042  df-nmop 32132  df-lnop 32134  df-bdop 32135  df-hmop 32137  df-leop 32145

This theorem is referenced by: (None)