HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopleid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopleid 30910
Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopleid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Proof of Theorem nmopleid
StepHypRef Expression
1 hmoplin 30713 . . . . 5 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2 nmlnopne0 30770 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LinOp → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
32biimpar 479 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
41, 3sylan 581 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
54adantlr 714 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
6 rereccl 11832 . . . . . 6 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
76adantll 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
8 simpll 766 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ∈ HrmOp)
9 idhmop 30753 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
10 hmopm 30792 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
119, 10mpan2 690 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
1211ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
13 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
14 hmopf 30645 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 nmopgt0 30683 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇)))
1615biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1714, 16sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1817adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1913, 18recgt0d 12048 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (1 / (normop𝑇)))
20 0re 11116 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
21 ltle 11202 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2220, 6, 21sylancr 588 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2322adantll 713 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2419, 23mpd 15 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇)))
25 leopnmid 30909 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
2625adantr 482 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
27 leopmul2i 30906 . . . . 5 ((((1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / (normop𝑇)) ∧ 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
287, 8, 12, 24, 26, 27syl32anc 1379 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
29 recn 11100 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
30 reccl 11779 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
31 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
32 hoif 30525 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
33 f1of 6782 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Iop : ℋ⟶ ℋ
35 homulass 30573 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
3634, 35mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
3730, 31, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
38 recid2 11787 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) = 1)
3938oveq1d 7367 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = (1 ·op Iop ))
4037, 39eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = (1 ·op Iop ))
41 homulid2 30571 . . . . . . . 8 ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (1 ·op Iop ) = Iop )
4234, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 ·op Iop ) = Iop
4340, 42eqtrdi 2794 . . . . . 6 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4429, 43sylan 581 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4544adantll 713 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4628, 45breqtrd 5130 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
475, 46syldan 592 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
48473impa 1111 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942   class class class wbr 5104  wf 6490  1-1-ontowf1o 6493  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  cr 11009  0cc0 11010  1c1 11011   · cmul 11015   < clt 11148  cle 11149   / cdiv 11771  chba 29690   ·op chot 29710   0hop ch0o 29714   Iop chio 29715  normopcnop 29716  LinOpclo 29718  HrmOpcho 29721  op cleo 29729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cc 10330  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvmulass 29778  ax-hvdistr1 29779  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781  ax-hfi 29850  ax-his1 29853  ax-his2 29854  ax-his3 29855  ax-his4 29856  ax-hcompl 29973
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-card 9834  df-acn 9837  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-lm 22532  df-t1 22617  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cfil 24571  df-cau 24572  df-cmet 24573  df-grpo 29264  df-gid 29265  df-ginv 29266  df-gdiv 29267  df-ablo 29316  df-vc 29330  df-nv 29363  df-va 29366  df-ba 29367  df-sm 29368  df-0v 29369  df-vs 29370  df-nmcv 29371  df-ims 29372  df-dip 29472  df-ssp 29493  df-lno 29515  df-nmoo 29516  df-0o 29518  df-ph 29584  df-cbn 29634  df-hnorm 29739  df-hba 29740  df-hvsub 29742  df-hlim 29743  df-hcau 29744  df-sh 29978  df-ch 29992  df-oc 30023  df-ch0 30024  df-shs 30079  df-pjh 30166  df-hosum 30501  df-homul 30502  df-hodif 30503  df-h0op 30519  df-iop 30520  df-nmop 30610  df-lnop 30612  df-bdop 30613  df-hmop 30615  df-leop 30623
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator