Theorem nmopleid 31901

Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopleid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Proof of Theorem nmopleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmoplin 31704	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		nmlnopne0 31761	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
3	2	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
4	1, 3	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
5	4	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
6		rereccl 11936	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
7	6	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ∈ HrmOp)
9		idhmop 31744	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
10		hmopm 31783	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
11	9, 10	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
12	11	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
13		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
14		hmopf 31636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		nmopgt0 31674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
17	14, 16	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
18	17	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
19	13, 18	recgt0d 12152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
20		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ltle 11306	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
22	20, 6, 21	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
23	22	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
24	19, 23	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
25		leopnmid 31900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
27		leopmul2i 31897	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)) ∧ 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
28	7, 8, 12, 24, 26, 27	syl32anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
29		recn 11202	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
30		reccl 11883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
31		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
32		hoif 31516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
33		f1of 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
35		homulass 31564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
36	34, 35	mp3an3 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
37	30, 31, 36	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
38		recid2 11891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = 1)
39	38	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = (1 ·op Iop ))
40	37, 39	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = (1 ·op Iop ))
41		homullid 31562	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (1 ·op Iop ) = Iop )
42	34, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·op Iop ) = Iop
43	40, 42	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
44	29, 43	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
45	44	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
46	28, 45	breqtrd 5167	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
47	5, 46	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
48	47	3impa 1107	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875   ℋchba 30681   ·_op chot 30701   0_hop ch0o 30705   I_op chio 30706  norm_opcnop 30707  LinOpclo 30709  HrmOpcho 30712   ≤_op cleo 30720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-t1 23173  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-lno 30506  df-nmoo 30507  df-0o 30509  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-hosum 31492  df-homul 31493  df-hodif 31494  df-h0op 31510  df-iop 31511  df-nmop 31601  df-lnop 31603  df-bdop 31604  df-hmop 31606  df-leop 31614

This theorem is referenced by: (None)