Theorem nmopleid 32491

Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopleid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Proof of Theorem nmopleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmoplin 32294	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		nmlnopne0 32351	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
3	2	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
4	1, 3	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
5	4	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop‘𝑇) ≠ 0)
6		rereccl 11928	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
7	6	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ∈ HrmOp)
9		idhmop 32334	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
10		hmopm 32373	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
11	9, 10	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
12	11	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
13		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
14		hmopf 32226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		nmopgt0 32264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
16	15	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
17	14, 16	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
18	17	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
19	13, 18	recgt0d 12144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
20		0re 11205	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ltle 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
22	20, 6, 21	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
23	22	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
24	19, 23	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
25		leopnmid 32490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))
27		leopmul2i 32487	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)) ∧ 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
28	7, 8, 12, 24, 26, 27	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
29		recn 11185	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
30		reccl 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
31		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
32		hoif 32106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
33		f1of 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
35		homulass 32154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
36	34, 35	mp3an3 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
37	30, 31, 36	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )))
38		recid2 11882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) = 1)
39	38	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop‘𝑇)) · (normop‘𝑇)) ·op Iop ) = (1 ·op Iop ))
40	37, 39	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = (1 ·op Iop ))
41		homullid 32152	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (1 ·op Iop ) = Iop )
42	34, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·op Iop ) = Iop
43	40, 42	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
44	29, 43	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
45	44	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op ((normop‘𝑇) ·op Iop )) = Iop )
46	28, 45	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
47	5, 46	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
48	47	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   / cdiv 11866   ℋchba 31271   ·_op chot 31291   0_hop ch0o 31295   I_op chio 31296  norm_opcnop 31297  LinOpclo 31299  HrmOpcho 31302   ≤_op cleo 31310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437  ax-hcompl 31554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-lm 23386  df-t1 23471  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cfil 25414  df-cau 25415  df-cmet 25416  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-dip 31053  df-ssp 31074  df-lno 31096  df-nmoo 31097  df-0o 31099  df-ph 31165  df-cbn 31215  df-hnorm 31320  df-hba 31321  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-hcau 31325  df-sh 31559  df-ch 31573  df-oc 31604  df-ch0 31605  df-shs 31660  df-pjh 31747  df-hosum 32082  df-homul 32083  df-hodif 32084  df-h0op 32100  df-iop 32101  df-nmop 32191  df-lnop 32193  df-bdop 32194  df-hmop 32196  df-leop 32204

This theorem is referenced by: (None)