HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopleid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopleid 31977
Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopleid ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop Iop )

Proof of Theorem nmopleid
StepHypRef Expression
1 hmoplin 31780 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2 nmlnopne0 31837 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ๐‘‡ โ‰  0hop ))
32biimpar 476 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0)
41, 3sylan 578 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0)
54adantlr 713 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0)
6 rereccl 11972 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
76adantll 712 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
8 simpll 765 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
9 idhmop 31820 . . . . . . 7 Iop โˆˆ HrmOp
10 hmopm 31859 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง Iop โˆˆ HrmOp) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ) โˆˆ HrmOp)
119, 10mpan2 689 . . . . . 6 ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ) โˆˆ HrmOp)
1211ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ) โˆˆ HrmOp)
13 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
14 hmopf 31712 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
15 nmopgt0 31750 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” 0 < (normopโ€˜๐‘‡)))
1615biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
1714, 16sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
1817adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
1913, 18recgt0d 12188 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
20 0re 11256 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
21 ltle 11342 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
2220, 6, 21sylancr 585 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
2322adantll 712 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
2419, 23mpd 15 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
25 leopnmid 31976 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‡ โ‰คop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ))
2625adantr 479 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ๐‘‡ โ‰คop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ))
27 leopmul2i 31973 . . . . 5 ((((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ) โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ๐‘‡ โ‰คop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop ))) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )))
287, 8, 12, 24, 26, 27syl32anc 1375 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )))
29 recn 11238 . . . . . 6 ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
30 reccl 11919 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
31 simpl 481 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
32 hoif 31592 . . . . . . . . . . 11 Iop : โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
33 f1of 6844 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ Iop : โ„‹โŸถ โ„‹)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Iop : โ„‹โŸถ โ„‹
35 homulass 31640 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง Iop : โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop Iop ) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )))
3634, 35mp3an3 1446 . . . . . . . . 9 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop Iop ) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )))
3730, 31, 36syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop Iop ) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )))
38 recid2 11927 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 1)
3938oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop Iop ) = (1 ยทop Iop ))
4037, 39eqtr3d 2770 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )) = (1 ยทop Iop ))
41 homullid 31638 . . . . . . . 8 ( Iop : โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop Iop ) = Iop )
4234, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 ยทop Iop ) = Iop
4340, 42eqtrdi 2784 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )) = Iop )
4429, 43sylan 578 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )) = Iop )
4544adantll 712 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop Iop )) = Iop )
4628, 45breqtrd 5178 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop Iop )
475, 46syldan 589 . 2 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop Iop )
48473impa 1107 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  0hop ) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡) โ‰คop Iop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โŸถwf 6549  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911   โ„‹chba 30757   ยทop chot 30777   0hop ch0o 30781   Iop chio 30782  normopcnop 30783  LinOpclo 30785  HrmOpcho 30788   โ‰คop cleo 30796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923  ax-hcompl 31040
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-lm 23161  df-t1 23246  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439  df-dip 30539  df-ssp 30560  df-lno 30582  df-nmoo 30583  df-0o 30585  df-ph 30651  df-cbn 30701  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-hlim 30810  df-hcau 30811  df-sh 31045  df-ch 31059  df-oc 31090  df-ch0 31091  df-shs 31146  df-pjh 31233  df-hosum 31568  df-homul 31569  df-hodif 31570  df-h0op 31586  df-iop 31587  df-nmop 31677  df-lnop 31679  df-bdop 31680  df-hmop 31682  df-leop 31690
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator