Theorem leopmul2i 30726

Description: Scalar product applied to operator ordering. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmul2i	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → (𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈))

Proof of Theorem leopmul2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		hmopd 30613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp)
3	2	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp)
4	3	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp)
5		leopmuli 30724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇))) → 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)))
6	5	exp32 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp) → (0 ≤ 𝐴 → ( 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)))))
7	1, 4, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (0 ≤ 𝐴 → ( 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)))))
8	7	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ( 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇))))
9		leop3 30716	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))
10	9	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))
12		hmopm 30612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
13		hmopm 30612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑈) ∈ HrmOp)
14		leop3 30716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp ∧ (𝐴 ·op 𝑈) ∈ HrmOp) → ((𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈) ↔ 0hop ≤op ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇))))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ HrmOp)) → ((𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈) ↔ 0hop ≤op ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇))))
16	15	3impdi 1349	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈) ↔ 0hop ≤op ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇))))
17		recn 11054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		hmopf 30465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
19		hmopf 30465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
20		hosubdi 30399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)) = ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇)))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)) = ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇)))
22	21	3com23 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)) = ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇)))
23	22	breq2d 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇)) ↔ 0hop ≤op ((𝐴 ·op 𝑈) −op (𝐴 ·op 𝑇))))
24	16, 23	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈) ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇))))
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈) ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op (𝑈 −op 𝑇))))
26	8, 11, 25	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑇 ≤op 𝑈 → (𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈)))
27	26	impr 455	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → (𝐴 ·op 𝑇) ≤op (𝐴 ·op 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5089  ⟶wf 6469  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  ℝcr 10963  0cc0 10964   ≤ cle 11103   ℋchba 29510   ·_op chot 29530   −_op chod 29531   0_hop ch0o 29534  HrmOpcho 29541   ≤_op cleo 29549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cc 10284  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044  ax-hilex 29590  ax-hfvadd 29591  ax-hvcom 29592  ax-hvass 29593  ax-hv0cl 29594  ax-hvaddid 29595  ax-hfvmul 29596  ax-hvmulid 29597  ax-hvmulass 29598  ax-hvdistr1 29599  ax-hvdistr2 29600  ax-hvmul0 29601  ax-hfi 29670  ax-his1 29673  ax-his2 29674  ax-his3 29675  ax-his4 29676  ax-hcompl 29793

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-lm 22478  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cfil 24517  df-cau 24518  df-cmet 24519  df-grpo 29084  df-gid 29085  df-ginv 29086  df-gdiv 29087  df-ablo 29136  df-vc 29150  df-nv 29183  df-va 29186  df-ba 29187  df-sm 29188  df-0v 29189  df-vs 29190  df-nmcv 29191  df-ims 29192  df-dip 29292  df-ssp 29313  df-ph 29404  df-cbn 29454  df-hnorm 29559  df-hba 29560  df-hvsub 29562  df-hlim 29563  df-hcau 29564  df-sh 29798  df-ch 29812  df-oc 29843  df-ch0 29844  df-shs 29899  df-pjh 29986  df-hosum 30321  df-homul 30322  df-hodif 30323  df-h0op 30339  df-hmop 30435  df-leop 30443

This theorem is referenced by:  nmopleid  30730