Theorem leopnmid 32399

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 32184	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3	1	recnd 11225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6		idhmop 32243	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
7		hmopm 32282	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
8	6, 7	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9		hmopre 32184	. . . . . 6 ⊢ ((((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
12	1	leabsd 15456	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14		hmopf 32135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		normcl 31386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		normcl 31386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
22	19, 21	remulcld 11227	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	14, 15	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
24		bcs 31442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
25	23, 24	sylancom 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
26	25	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
27		remulcl 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	20, 27	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		normge0 31387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑥))
31	20, 30	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
33		hmoplin 32203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34		elbdop2 32132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
35	34	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
36	33, 35	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37		nmbdoplb 32286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
39		lemul1a 12060	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
40	19, 29, 32, 38, 39	syl31anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
41		recn 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
42	41	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
43	21	recnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
44	42, 43, 43	mulassd 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
45		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46		ax-his3 31345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
47	42, 45, 45, 46	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
48	20	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)))
50		normsq 31395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
51	49, 50	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
52	51	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
53	52	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
54	47, 53	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
55	44, 54	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
56		hoif 32015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57		f1of 6810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
58	56, 57	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59		homval 32002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
60	42, 58, 45, 59	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
61		hoival 32016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop ‘𝑥) = 𝑥)
62	61	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
63	62	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
64	60, 63	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
65	64	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
66	55, 65	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
67	40, 66	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
68	5, 22, 11, 26, 67	letrd 11355	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
69	2, 5, 11, 13, 68	letrd 11355	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
70	69	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71		leop2 32385	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
72	8, 71	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
73	70, 72	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   ≤ cle 11232  2c2 12286  ↑cexp 14088  abscabs 15275   ℋchba 31180   ·_ℎ csm 31182   ·_ih csp 31183  norm_ℎcno 31184   ·_op chot 31200   I_op chio 31205  norm_opcnop 31206  LinOpclo 31208  BndLinOpcbo 31209  HrmOpcho 31211   ≤_op cleo 31219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346  ax-hcompl 31463

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-lm 23347  df-t1 23432  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cfil 25375  df-cau 25376  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-dip 30962  df-ssp 30983  df-ph 31074  df-cbn 31124  df-hnorm 31229  df-hba 31230  df-hvsub 31232  df-hlim 31233  df-hcau 31234  df-sh 31468  df-ch 31482  df-oc 31513  df-ch0 31514  df-shs 31569  df-pjh 31656  df-hosum 31991  df-homul 31992  df-hodif 31993  df-h0op 32009  df-iop 32010  df-nmop 32100  df-lnop 32102  df-bdop 32103  df-hmop 32105  df-leop 32113

This theorem is referenced by:  nmopleid  32400