Theorem leopnmid 32129

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 31914	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3	1	recnd 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15356	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6		idhmop 31973	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
7		hmopm 32012	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
8	6, 7	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9		hmopre 31914	. . . . . 6 ⊢ ((((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
12	1	leabsd 15332	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14		hmopf 31865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		normcl 31116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		normcl 31116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
22	19, 21	remulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
24		bcs 31172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
25	23, 24	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
26	25	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
27		remulcl 11101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	20, 27	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		normge0 31117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑥))
31	20, 30	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
33		hmoplin 31933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34		elbdop2 31862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
35	34	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
36	33, 35	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37		nmbdoplb 32016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
39		lemul1a 11985	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
40	19, 29, 32, 38, 39	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
41		recn 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
42	41	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
43	21	recnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
44	42, 43, 43	mulassd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
45		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46		ax-his3 31075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
47	42, 45, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
48	20	recnd 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)))
50		normsq 31125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
51	49, 50	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
52	51	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
54	47, 53	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
55	44, 54	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
56		hoif 31745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57		f1of 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
58	56, 57	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59		homval 31732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
60	42, 58, 45, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
61		hoival 31746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop ‘𝑥) = 𝑥)
62	61	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
64	60, 63	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
65	64	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
66	55, 65	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
67	40, 66	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
68	5, 22, 11, 26, 67	letrd 11280	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
69	2, 5, 11, 13, 68	letrd 11280	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
70	69	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71		leop2 32115	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
72	8, 71	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
73	70, 72	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   class class class wbr 5095  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016   · cmul 11021   ≤ cle 11157  2c2 12190  ↑cexp 13978  abscabs 15151   ℋchba 30910   ·_ℎ csm 30912   ·_ih csp 30913  norm_ℎcno 30914   ·_op chot 30930   I_op chio 30935  norm_opcnop 30936  LinOpclo 30938  BndLinOpcbo 30939  HrmOpcho 30941   ≤_op cleo 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cc 10336  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095  ax-mulf 11096  ax-hilex 30990  ax-hfvadd 30991  ax-hvcom 30992  ax-hvass 30993  ax-hv0cl 30994  ax-hvaddid 30995  ax-hfvmul 30996  ax-hvmulid 30997  ax-hvmulass 30998  ax-hvdistr1 30999  ax-hvdistr2 31000  ax-hvmul0 31001  ax-hfi 31070  ax-his1 31073  ax-his2 31074  ax-his3 31075  ax-his4 31076  ax-hcompl 31193

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-acn 9845  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-lm 23154  df-t1 23239  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cfil 25192  df-cau 25193  df-cmet 25194  df-grpo 30484  df-gid 30485  df-ginv 30486  df-gdiv 30487  df-ablo 30536  df-vc 30550  df-nv 30583  df-va 30586  df-ba 30587  df-sm 30588  df-0v 30589  df-vs 30590  df-nmcv 30591  df-ims 30592  df-dip 30692  df-ssp 30713  df-ph 30804  df-cbn 30854  df-hnorm 30959  df-hba 30960  df-hvsub 30962  df-hlim 30963  df-hcau 30964  df-sh 31198  df-ch 31212  df-oc 31243  df-ch0 31244  df-shs 31299  df-pjh 31386  df-hosum 31721  df-homul 31722  df-hodif 31723  df-h0op 31739  df-iop 31740  df-nmop 31830  df-lnop 31832  df-bdop 31833  df-hmop 31835  df-leop 31843

This theorem is referenced by:  nmopleid  32130