Theorem leopnmid 31976

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 31761	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3	1	recnd 11282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15425	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6		idhmop 31820	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
7		hmopm 31859	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
8	6, 7	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9		hmopre 31761	. . . . . 6 ⊢ ((((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
12	1	leabsd 15403	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14		hmopf 31712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		normcl 30963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		normcl 30963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
22	19, 21	remulcld 11284	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	14, 15	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
24		bcs 31019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
25	23, 24	sylancom 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
26	25	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
27		remulcl 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	20, 27	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		normge0 30964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑥))
31	20, 30	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
33		hmoplin 31780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34		elbdop2 31709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
35	34	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
36	33, 35	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37		nmbdoplb 31863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
39		lemul1a 12108	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
40	19, 29, 32, 38, 39	syl31anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
41		recn 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
42	41	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
43	21	recnd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
44	42, 43, 43	mulassd 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
45		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46		ax-his3 30922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
47	42, 45, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
48	20	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)))
50		normsq 30972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
51	49, 50	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
52	51	oveq2d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
53	52	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
54	47, 53	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
55	44, 54	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
56		hoif 31592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57		f1of 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
58	56, 57	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59		homval 31579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
60	42, 58, 45, 59	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
61		hoival 31593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop ‘𝑥) = 𝑥)
62	61	oveq2d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
63	62	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
64	60, 63	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
65	64	oveq1d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
66	55, 65	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
67	40, 66	breqtrd 5178	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
68	5, 22, 11, 26, 67	letrd 11411	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
69	2, 5, 11, 13, 68	letrd 11411	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
70	69	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71		leop2 31962	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
72	8, 71	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
73	70, 72	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  ℝcr 11147  0cc0 11148   · cmul 11153   ≤ cle 11289  2c2 12307  ↑cexp 14068  abscabs 15223   ℋchba 30757   ·_ℎ csm 30759   ·_ih csp 30760  norm_ℎcno 30761   ·_op chot 30777   I_op chio 30782  norm_opcnop 30783  LinOpclo 30785  BndLinOpcbo 30786  HrmOpcho 30788   ≤_op cleo 30796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923  ax-hcompl 31040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-lm 23161  df-t1 23246  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439  df-dip 30539  df-ssp 30560  df-ph 30651  df-cbn 30701  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-hlim 30810  df-hcau 30811  df-sh 31045  df-ch 31059  df-oc 31090  df-ch0 31091  df-shs 31146  df-pjh 31233  df-hosum 31568  df-homul 31569  df-hodif 31570  df-h0op 31586  df-iop 31587  df-nmop 31677  df-lnop 31679  df-bdop 31680  df-hmop 31682  df-leop 31690

This theorem is referenced by:  nmopleid  31977