Theorem leopnmid 32770

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 32555	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3	1	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15635	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6		idhmop 32614	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
7		hmopm 32653	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
8	6, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9		hmopre 32555	. . . . . 6 ⊢ ((((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
12	1	leabsd 15611	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14		hmopf 32506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		normcl 31757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		normcl 31757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
22	19, 21	remulcld 11366	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	14, 15	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
24		bcs 31813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
25	23, 24	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
26	25	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
27		remulcl 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	20, 27	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		normge0 31758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑥))
31	20, 30	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
33		hmoplin 32574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34		elbdop2 32503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
35	34	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
36	33, 35	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37		nmbdoplb 32657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
39		lemul1a 12198	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
40	19, 29, 32, 38, 39	syl31anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
41		recn 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
42	41	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
43	21	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
44	42, 43, 43	mulassd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
45		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46		ax-his3 31716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
47	42, 45, 45, 46	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
48	20	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)))
50		normsq 31766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
51	49, 50	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
52	51	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
54	47, 53	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
55	44, 54	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
56		hoif 32386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ⟶1-1onto ℋ
57		f1of 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ⟶1-1onto ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
58	56, 57	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59		homval 32373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
60	42, 58, 45, 59	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
61		hoival 32387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop ‘𝑥) = 𝑥)
62	61	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
63	62	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
64	60, 63	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
65	64	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
66	55, 65	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
67	40, 66	breqtrd 5134	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
68	5, 22, 11, 26, 67	letrd 11494	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
69	2, 5, 11, 13, 68	letrd 11494	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
70	69	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71		leop2 32756	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
72	8, 71	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
73	70, 72	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232   ≤ cle 11371  2c2 12424  ↑cexp 14231  abscabs 15430   ℋchba 31551   ·_ℎ csm 31553   ·_ih csp 31554  norm_ℎcno 31555   ·_op chot 31571   I_op chio 31576  norm_opcnop 31577  LinOpclo 31579  BndLinOpcbo 31580  HrmOpcho 31582   ≤_op cleo 31590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-t1 23662  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-shs 31940  df-pjh 32027  df-hosum 32362  df-homul 32363  df-hodif 32364  df-h0op 32380  df-iop 32381  df-nmop 32471  df-lnop 32473  df-bdop 32474  df-hmop 32476  df-leop 32484

This theorem is used by:  nmopleid  32771