HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopnmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopnmid 29832
Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopnmid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 29617 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21adantlr 711 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
31recnd 10661 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14789 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
54adantlr 711 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6 idhmop 29676 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
7 hmopm 29715 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
86, 7mpan2 687 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9 hmopre 29617 . . . . . 6 ((((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
108, 9sylan 580 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
1110adantll 710 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
121leabsd 14767 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1312adantlr 711 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
14 hmopf 29568 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6844 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 normcl 28819 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantlr 711 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
20 normcl 28819 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10663 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2314, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 bcs 28875 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2523, 24sylancom 588 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2625adantlr 711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
27 remulcl 10614 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2820, 27sylan2 592 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantll 710 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
30 normge0 28820 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑥))
3120, 30jca 512 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
3231adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
33 hmoplin 29636 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34 elbdop2 29565 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ))
3534biimpri 229 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
3633, 35sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37 nmbdoplb 29719 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
3836, 37sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
39 lemul1a 11486 . . . . . . 7 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
4019, 29, 32, 38, 39syl31anc 1367 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
41 recn 10619 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4241ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4321recnd 10661 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43, 43mulassd 10656 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
45 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46 ax-his3 28778 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4742, 45, 45, 46syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4820recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4948sqvald 13500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = ((norm𝑥) · (norm𝑥)))
50 normsq 28828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5149, 50eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) · (norm𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5251oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5447, 53eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
5544, 54eqtr4d 2863 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
56 hoif 29448 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57 f1of 6611 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59 homval 29435 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
6042, 58, 45, 59syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
61 hoival 29449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop𝑥) = 𝑥)
6261oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6460, 63eqtrd 2860 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6564oveq1d 7166 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
6655, 65eqtr4d 2863 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
6740, 66breqtrd 5088 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
685, 22, 11, 26, 67letrd 10789 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
692, 5, 11, 13, 68letrd 10789 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
7069ralrimiva 3186 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71 leop2 29818 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
728, 71sylan2 592 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7370, 72mpbird 258 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142   class class class wbr 5062  wf 6347  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534  cle 10668  2c2 11684  cexp 13422  abscabs 14586  chba 28613   · csm 28615   ·ih csp 28616  normcno 28617   ·op chot 28633   Iop chio 28638  normopcnop 28639  LinOpclo 28641  BndLinOpcbo 28642  HrmOpcho 28644  op cleo 28652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28693  ax-hfvadd 28694  ax-hvcom 28695  ax-hvass 28696  ax-hv0cl 28697  ax-hvaddid 28698  ax-hfvmul 28699  ax-hvmulid 28700  ax-hvmulass 28701  ax-hvdistr1 28702  ax-hvdistr2 28703  ax-hvmul0 28704  ax-hfi 28773  ax-his1 28776  ax-his2 28777  ax-his3 28778  ax-his4 28779  ax-hcompl 28896
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17948  df-mulg 18158  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-lm 21756  df-t1 21841  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cfil 23776  df-cau 23777  df-cmet 23778  df-grpo 28187  df-gid 28188  df-ginv 28189  df-gdiv 28190  df-ablo 28239  df-vc 28253  df-nv 28286  df-va 28289  df-ba 28290  df-sm 28291  df-0v 28292  df-vs 28293  df-nmcv 28294  df-ims 28295  df-dip 28395  df-ssp 28416  df-ph 28507  df-cbn 28557  df-hnorm 28662  df-hba 28663  df-hvsub 28665  df-hlim 28666  df-hcau 28667  df-sh 28901  df-ch 28915  df-oc 28946  df-ch0 28947  df-shs 29002  df-pjh 29089  df-hosum 29424  df-homul 29425  df-hodif 29426  df-h0op 29442  df-iop 29443  df-nmop 29533  df-lnop 29535  df-bdop 29536  df-hmop 29538  df-leop 29546
This theorem is referenced by:  nmopleid  29833
  Copyright terms: Public domain W3C validator