Theorem leopnmid 32067

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 31852	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3	1	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6		idhmop 31911	. . . . . . 7 ⊢ Iop ∈ HrmOp
7		hmopm 31950	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
8	6, 7	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9		hmopre 31852	. . . . . 6 ⊢ ((((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
12	1	leabsd 15381	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14		hmopf 31803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		normcl 31054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		normcl 31054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
22	19, 21	remulcld 11204	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
24		bcs 31110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
25	23, 24	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
26	25	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
27		remulcl 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	20, 27	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		normge0 31055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑥))
31	20, 30	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥)))
33		hmoplin 31871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34		elbdop2 31800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
35	34	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
36	33, 35	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37		nmbdoplb 31954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)))
39		lemul1a 12036	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑥))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
40	19, 29, 32, 38, 39	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)))
41		recn 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
42	41	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘𝑇) ∈ ℂ)
43	21	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
44	42, 43, 43	mulassd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
45		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46		ax-his3 31013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
47	42, 45, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
48	20	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)))
50		normsq 31063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
51	49, 50	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
52	51	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))) = ((normop‘𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
54	47, 53	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop‘𝑇) · ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑥))))
55	44, 54	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
56		hoif 31683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57		f1of 6800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
58	56, 57	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59		homval 31670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
60	42, 58, 45, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)))
61		hoival 31684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop ‘𝑥) = 𝑥)
62	61	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) ·ℎ ( Iop ‘𝑥)) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
64	60, 63	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥))
65	64	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop‘𝑇) ·ℎ 𝑥) ·ih 𝑥))
66	55, 65	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) = ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
67	40, 66	breqtrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) · (normℎ‘𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
68	5, 22, 11, 26, 67	letrd 11331	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
69	2, 5, 11, 13, 68	letrd 11331	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
70	69	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71		leop2 32053	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
72	8, 71	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop‘𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
73	70, 72	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ≤op ((normop‘𝑇) ·op Iop ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   ≤ cle 11209  2c2 12241  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850   ·_ih csp 30851  norm_ℎcno 30852   ·_op chot 30868   I_op chio 30873  norm_opcnop 30874  LinOpclo 30876  BndLinOpcbo 30877  HrmOpcho 30879   ≤_op cleo 30887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-lm 23116  df-t1 23201  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cfil 25155  df-cau 25156  df-cmet 25157  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ssp 30651  df-ph 30742  df-cbn 30792  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-shs 31237  df-pjh 31324  df-hosum 31659  df-homul 31660  df-hodif 31661  df-h0op 31677  df-iop 31678  df-nmop 31768  df-lnop 31770  df-bdop 31771  df-hmop 31773  df-leop 31781

This theorem is referenced by:  nmopleid  32068