HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopnmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopnmid 29522
Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopnmid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 29307 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21adantlr 707 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
31recnd 10357 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14516 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
54adantlr 707 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6 idhmop 29366 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
7 hmopm 29405 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
86, 7mpan2 683 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9 hmopre 29307 . . . . . 6 ((((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
108, 9sylan 576 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
1110adantll 706 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
121leabsd 14494 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1312adantlr 707 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
14 hmopf 29258 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6583 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 normcl 28507 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan 576 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantlr 707 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
20 normcl 28507 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 474 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10359 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2314, 15sylan 576 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 bcs 28563 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2523, 24sylancom 583 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2625adantlr 707 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
27 remulcl 10309 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2820, 27sylan2 587 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantll 706 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
30 normge0 28508 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑥))
3120, 30jca 508 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
3231adantl 474 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
33 hmoplin 29326 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34 elbdop2 29255 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ))
3534biimpri 220 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
3633, 35sylan 576 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37 nmbdoplb 29409 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
3836, 37sylan 576 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
39 lemul1a 11169 . . . . . . 7 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
4019, 29, 32, 38, 39syl31anc 1493 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
41 recn 10314 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4241ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4321recnd 10357 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43, 43mulassd 10352 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
45 simpr 478 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46 ax-his3 28466 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4742, 45, 45, 46syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4820recnd 10357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4948sqvald 13259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = ((norm𝑥) · (norm𝑥)))
50 normsq 28516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5149, 50eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) · (norm𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5251oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5352adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5447, 53eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
5544, 54eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
56 hoif 29138 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57 f1of 6356 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59 homval 29125 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
6042, 58, 45, 59syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
61 hoival 29139 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop𝑥) = 𝑥)
6261oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6362adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6460, 63eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6564oveq1d 6893 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
6655, 65eqtr4d 2836 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
6740, 66breqtrd 4869 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
685, 22, 11, 26, 67letrd 10484 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
692, 5, 11, 13, 68letrd 10484 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
7069ralrimiva 3147 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71 leop2 29508 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
728, 71sylan2 587 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7370, 72mpbird 249 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089   class class class wbr 4843  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229  cle 10364  2c2 11368  cexp 13114  abscabs 14315  chba 28301   · csm 28303   ·ih csp 28304  normcno 28305   ·op chot 28321   Iop chio 28326  normopcnop 28327  LinOpclo 28329  BndLinOpcbo 28330  HrmOpcho 28332  op cleo 28340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304  ax-hilex 28381  ax-hfvadd 28382  ax-hvcom 28383  ax-hvass 28384  ax-hv0cl 28385  ax-hvaddid 28386  ax-hfvmul 28387  ax-hvmulid 28388  ax-hvmulass 28389  ax-hvdistr1 28390  ax-hvdistr2 28391  ax-hvmul0 28392  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466  ax-his4 28467  ax-hcompl 28584
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-lm 21362  df-t1 21447  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cfil 23381  df-cau 23382  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-dip 28081  df-ssp 28102  df-ph 28193  df-cbn 28244  df-hnorm 28350  df-hba 28351  df-hvsub 28353  df-hlim 28354  df-hcau 28355  df-sh 28589  df-ch 28603  df-oc 28634  df-ch0 28635  df-shs 28692  df-pjh 28779  df-hosum 29114  df-homul 29115  df-hodif 29116  df-h0op 29132  df-iop 29133  df-nmop 29223  df-lnop 29225  df-bdop 29226  df-hmop 29228  df-leop 29236
This theorem is referenced by:  nmopleid  29523
  Copyright terms: Public domain W3C validator