HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopmuli 29922
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇)) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))

Proof of Theorem leopmuli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 29712 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2 mulge0 11156 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
31, 2sylanr1 681 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
43expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
54an4s 659 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
65anassrs 471 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
7 recn 10625 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 hmopf 29663 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
97, 8anim12i 615 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10 homval 29530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
11103expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
1211oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
13 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1514adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
17 ax-his3 28873 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1813, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1912, 18eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
209, 19sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2120breq2d 5064 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
2221adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
236, 22sylibrd 262 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2423ralimdva 3172 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2524expimpd 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26 leoppos 29915 . . . . 5 (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hopop 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2726adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hopop 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2827anbi2d 631 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
29 hmopm 29810 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
30 leoppos 29915 . . . 4 ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hopop (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hopop (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3225, 28, 313imtr4d 297 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)))
3332imp 410 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇)) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   class class class wbr 5052  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540  cle 10674  chba 28708   · csm 28710   ·ih csp 28711   ·op chot 28728   0hop ch0o 28732  HrmOpcho 28739  op cleo 28747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28788  ax-hfvadd 28789  ax-hvcom 28790  ax-hvass 28791  ax-hv0cl 28792  ax-hvaddid 28793  ax-hfvmul 28794  ax-hvmulid 28795  ax-hvmulass 28796  ax-hvdistr1 28797  ax-hvdistr2 28798  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his2 28872  ax-his3 28873  ax-his4 28874  ax-hcompl 28991
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-lm 21840  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cfil 23865  df-cau 23866  df-cmet 23867  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389  df-ims 28390  df-dip 28490  df-ssp 28511  df-ph 28602  df-cbn 28652  df-hnorm 28757  df-hba 28758  df-hvsub 28760  df-hlim 28761  df-hcau 28762  df-sh 28996  df-ch 29010  df-oc 29041  df-ch0 29042  df-shs 29097  df-pjh 29184  df-hosum 29519  df-homul 29520  df-hodif 29521  df-h0op 29537  df-hmop 29633  df-leop 29641
This theorem is referenced by:  leopmul  29923  leopmul2i  29924  opsqrlem1  29929
  Copyright terms: Public domain W3C validator