Theorem leopmuli 31963

Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmuli	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))

Proof of Theorem leopmuli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 31753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2		mulge0 11770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3	1, 2	sylanr1 680	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
4	3	expr 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
5	4	an4s 658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	5	anassrs 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7		recn 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8		hmopf 31704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	7, 8	anim12i 611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		homval 31571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
11	10	3expa 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		ffvelcdm 7096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ax-his3 30914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	12, 18	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	9, 19	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	20	breq2d 5164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
22	21	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
23	6, 22	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
24	23	ralimdva 3164	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	expimpd 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26		leoppos 31956	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27	26	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28	27	anbi2d 628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
29		hmopm 31851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
30		leoppos 31956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	25, 28, 31	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))
33	32	imp 405	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151   ≤ cle 11287   ℋchba 30749   ·_ℎ csm 30751   ·_ih csp 30752   ·_op chot 30769   0_hop ch0o 30773  HrmOpcho 30780   ≤_op cleo 30788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915  ax-hcompl 31032

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-lm 23153  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cfil 25203  df-cau 25204  df-cmet 25205  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-dip 30531  df-ssp 30552  df-ph 30643  df-cbn 30693  df-hnorm 30798  df-hba 30799  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-hcau 30803  df-sh 31037  df-ch 31051  df-oc 31082  df-ch0 31083  df-shs 31138  df-pjh 31225  df-hosum 31560  df-homul 31561  df-hodif 31562  df-h0op 31578  df-hmop 31674  df-leop 31682

This theorem is referenced by:  leopmul  31964  leopmul2i  31965  opsqrlem1  31970