HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopmuli 31895
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0hop โ‰คop ๐‘‡)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐ด ยทop ๐‘‡))

Proof of Theorem leopmuli
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 31685 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2 mulge0 11736 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
31, 2sylanr1 679 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
43expr 456 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
54an4s 657 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
65anassrs 467 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
7 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 hmopf 31636 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
97, 8anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
10 homval 31503 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
11103expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1211oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
13 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1514adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
17 ax-his3 30846 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
1813, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
1912, 18eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
209, 19sylan 579 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2120breq2d 5153 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
2221adantlr 712 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
236, 22sylibrd 259 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2423ralimdva 3161 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2524expimpd 453 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
26 leoppos 31888 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2726adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2827anbi2d 628 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0hop โ‰คop ๐‘‡) โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
29 hmopm 31783 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡) โˆˆ HrmOp)
30 leoppos 31888 . . . 4 ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐ด ยทop ๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐ด ยทop ๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3225, 28, 313imtr4d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0hop โ‰คop ๐‘‡) โ†’ 0hop โ‰คop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
3332imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0hop โ‰คop ๐‘‡)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐ด ยทop ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โ„‹chba 30681   ยทโ„Ž csm 30683   ยทih csp 30684   ยทop chot 30701   0hop ch0o 30705  HrmOpcho 30712   โ‰คop cleo 30720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-hosum 31492  df-homul 31493  df-hodif 31494  df-h0op 31510  df-hmop 31606  df-leop 31614
This theorem is referenced by:  leopmul  31896  leopmul2i  31897  opsqrlem1  31902
  Copyright terms: Public domain W3C validator