Theorem leopmuli 31895

Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmuli	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))

Proof of Theorem leopmuli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 31685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2		mulge0 11736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3	1, 2	sylanr1 679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
4	3	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
5	4	an4s 657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	5	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8		hmopf 31636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	7, 8	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		homval 31503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
11	10	3expa 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantll 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ax-his3 30846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	12, 18	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	9, 19	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	20	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
22	21	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
23	6, 22	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
24	23	ralimdva 3161	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26		leoppos 31888	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27	26	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28	27	anbi2d 628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
29		hmopm 31783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
30		leoppos 31888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	25, 28, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))
33	32	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   ≤ cle 11253   ℋchba 30681   ·_ℎ csm 30683   ·_ih csp 30684   ·_op chot 30701   0_hop ch0o 30705  HrmOpcho 30712   ≤_op cleo 30720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-hosum 31492  df-homul 31493  df-hodif 31494  df-h0op 31510  df-hmop 31606  df-leop 31614

This theorem is referenced by:  leopmul  31896  leopmul2i  31897  opsqrlem1  31902