HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leop2 31952
Description: Ordering relation for operators. Definition of operator ordering in [Young] p. 141. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leop2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem leop2
StepHypRef Expression
1 leop 31951 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2 hmopf 31702 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3 hmopf 31702 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
42, 3anim12i 611 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
5 hodval 31570 . . . . . . . . . 10 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
653com12 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
763expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
87oveq1d 7439 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
9 ffvelcdm 7094 . . . . . . . . 9 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
109adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
11 ffvelcdm 7094 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1211adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
13 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
14 his2sub 30920 . . . . . . . 8 (((𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
168, 15eqtrd 2767 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
174, 16sylan 578 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1817breq2d 5162 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
19 hmopre 31751 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2019adantll 712 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21 hmopre 31751 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2221adantlr 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2320, 22subge0d 11840 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2418, 23bitrd 278 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2524ralbidva 3171 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
261, 25bitrd 278 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057   class class class wbr 5150  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  cr 11143  0cc0 11144  cle 11285  cmin 11480  chba 30747   ·ih csp 30750   cmv 30753  op chod 30768  HrmOpcho 30778  op cleo 30786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cc 10464  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224  ax-hilex 30827  ax-hfvadd 30828  ax-hvcom 30829  ax-hvass 30830  ax-hv0cl 30831  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvmulass 30835  ax-hvdistr1 30836  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838  ax-hfi 30907  ax-his1 30910  ax-his2 30911  ax-his3 30912  ax-his4 30913  ax-hcompl 31030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-lm 23151  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30321  df-gid 30322  df-ginv 30323  df-gdiv 30324  df-ablo 30373  df-vc 30387  df-nv 30420  df-va 30423  df-ba 30424  df-sm 30425  df-0v 30426  df-vs 30427  df-nmcv 30428  df-ims 30429  df-dip 30529  df-ssp 30550  df-ph 30641  df-cbn 30691  df-hnorm 30796  df-hba 30797  df-hvsub 30799  df-hlim 30800  df-hcau 30801  df-sh 31035  df-ch 31049  df-oc 31080  df-ch0 31081  df-shs 31136  df-pjh 31223  df-hosum 31558  df-homul 31559  df-hodif 31560  df-h0op 31576  df-hmop 31672  df-leop 31680
This theorem is referenced by:  leop3  31953  idleop  31959  leoptri  31964  leoptr  31965  leopnmid  31966
  Copyright terms: Public domain W3C validator