HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leop2 29555
Description: Ordering relation for operators. Definition of operator ordering in [Young] p. 141. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leop2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem leop2
StepHypRef Expression
1 leop 29554 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2 hmopf 29305 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3 hmopf 29305 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
42, 3anim12i 606 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
5 hodval 29173 . . . . . . . . . 10 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
653com12 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
763expa 1108 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
87oveq1d 6937 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
9 ffvelrn 6621 . . . . . . . . 9 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
109adantll 704 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
11 ffvelrn 6621 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1211adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
13 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
14 his2sub 28521 . . . . . . . 8 (((𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
168, 15eqtrd 2813 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
174, 16sylan 575 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1817breq2d 4898 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
19 hmopre 29354 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2019adantll 704 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21 hmopre 29354 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2221adantlr 705 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2320, 22subge0d 10965 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2418, 23bitrd 271 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2524ralbidva 3166 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
261, 25bitrd 271 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089   class class class wbr 4886  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272  cle 10412  cmin 10606  chba 28348   ·ih csp 28351   cmv 28354  op chod 28369  HrmOpcho 28379  op cleo 28387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-pjh 28826  df-hosum 29161  df-homul 29162  df-hodif 29163  df-h0op 29179  df-hmop 29275  df-leop 29283
This theorem is referenced by:  leop3  29556  idleop  29562  leoptri  29567  leoptr  29568  leopnmid  29569
  Copyright terms: Public domain W3C validator