Theorem leop2 32071

Description: Ordering relation for operators. Definition of operator ordering in [Young] p. 141. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leop2	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem leop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leop 32070	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopf 31821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3		hmopf 31821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
5		hodval 31689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
6	5	3com12 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
7	6	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
8	7	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
9		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
10	9	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
11		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
12	11	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
14		his2sub 31039	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
16	8, 15	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
17	4, 16	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
18	17	breq2d 5135	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))))
19		hmopre 31870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
20	19	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21		hmopre 31870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
23	20, 22	subge0d 11835	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
24	18, 23	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	ralbidva 3163	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26	1, 25	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   class class class wbr 5123  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137   ≤ cle 11278   − cmin 11474   ℋchba 30866   ·_ih csp 30869   −_ℎ cmv 30872   −_op chod 30887  HrmOpcho 30897   ≤_op cleo 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cc 10457  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216  ax-mulf 11217  ax-hilex 30946  ax-hfvadd 30947  ax-hvcom 30948  ax-hvass 30949  ax-hv0cl 30950  ax-hvaddid 30951  ax-hfvmul 30952  ax-hvmulid 30953  ax-hvmulass 30954  ax-hvdistr1 30955  ax-hvdistr2 30956  ax-hvmul0 30957  ax-hfi 31026  ax-his1 31029  ax-his2 31030  ax-his3 31031  ax-his4 31032  ax-hcompl 31149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-pt 17460  df-prds 17463  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cld 22973  df-ntr 22974  df-cls 22975  df-nei 23052  df-cn 23181  df-cnp 23182  df-lm 23183  df-haus 23269  df-tx 23516  df-hmeo 23709  df-fil 23800  df-fm 23892  df-flim 23893  df-flf 23894  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cfil 25225  df-cau 25226  df-cmet 25227  df-grpo 30440  df-gid 30441  df-ginv 30442  df-gdiv 30443  df-ablo 30492  df-vc 30506  df-nv 30539  df-va 30542  df-ba 30543  df-sm 30544  df-0v 30545  df-vs 30546  df-nmcv 30547  df-ims 30548  df-dip 30648  df-ssp 30669  df-ph 30760  df-cbn 30810  df-hnorm 30915  df-hba 30916  df-hvsub 30918  df-hlim 30919  df-hcau 30920  df-sh 31154  df-ch 31168  df-oc 31199  df-ch0 31200  df-shs 31255  df-pjh 31342  df-hosum 31677  df-homul 31678  df-hodif 31679  df-h0op 31695  df-hmop 31791  df-leop 31799

This theorem is referenced by:  leop3  32072  idleop  32078  leoptri  32083  leoptr  32084  leopnmid  32085