HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopm 32050
Description: The scalar product of a Hermitian operator with a real is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopm ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmopm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 11243 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 hmopf 31903 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3 homulcl 31788 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5 cjre 15175 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
6 hmop 31951 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
763expb 1119 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
85, 7oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
98anassrs 467 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
101, 2anim12i 613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
11 homval 31770 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 · (𝑇𝑦)))
12113expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 · (𝑇𝑦)))
1312adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 · (𝑇𝑦)))
1413oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝐴 · (𝑇𝑦))))
15 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1817ad2ant2l 746 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
19 his5 31115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · (𝑇𝑦))) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝐴 · (𝑇𝑦))) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
2114, 20eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
2210, 21sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
23 homval 31770 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
24233expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
2524adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
2625oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
27 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
2827ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
29 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
30 ax-his3 31113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
3115, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
3226, 31eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
3310, 32sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
349, 22, 333eqtr4d 2785 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
3534ralrimivva 3200 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
36 elhmop 31902 . 2 ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
374, 35, 36sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   · cmul 11158  ccj 15132  chba 30948   · csm 30950   ·ih csp 30951   ·op chot 30968  HrmOpcho 30979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvmul 31034  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-homul 31760  df-hmop 31873
This theorem is referenced by:  hmopd  32051  leopmuli  32162  leopmul  32163  leopmul2i  32164  leopnmid  32167  nmopleid  32168  opsqrlem1  32169  opsqrlem4  32172
  Copyright terms: Public domain W3C validator