Theorem hmopm 32351

Description: The scalar product of a Hermitian operator with a real is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopm	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)

Proof of Theorem hmopm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11191	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		hmopf 32204	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3		homulcl 32089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
5		cjre 15192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
6		hmop 32252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
7	6	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
8	5, 7	oveqan12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
9	8	anassrs 472	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	1, 2	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
11		homval 32071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
12	11	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
13	12	adantrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
14	13	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦))))
15		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
17		ffvelcdm 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
18	17	ad2ant2l 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19		his5 31416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
21	14, 20	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
22	10, 21	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
23		homval 32071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
24	23	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
25	24	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦))
27		ffvelcdm 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
28	27	ad2ant2lr 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
29		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-his3 31414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
31	15, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
32	26, 31	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
33	10, 32	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
34	9, 22, 33	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
35	34	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
36		elhmop 32203	. 2 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦)))
37	4, 35, 36	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100   · cmul 11106  ∗ccj 15149   ℋchba 31249   ·_ℎ csm 31251   ·_ih csp 31252   ·_op chot 31269  HrmOpcho 31280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-hilex 31329  ax-hfvmul 31335  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his3 31414

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-homul 32061  df-hmop 32174

This theorem is referenced by:  hmopd  32352  leopmuli  32463  leopmul  32464  leopmul2i  32465  leopnmid  32468  nmopleid  32469  opsqrlem1  32470  opsqrlem4  32473