Theorem eighmre 32019

Description: The eigenvalues of a Hermitian operator are real. Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eighmre	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem eighmre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31930	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		eleigveccl 32015	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		eigvalcl 32017	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ))
5		eigvec1 32018	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ))
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)))
7	1, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)))
8	2, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
9	1, 8	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
10		hmop 31978	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴))
11	10	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴))
12	9, 11	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴))
13		eigre 31891	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ))
14	13	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (((eigval‘𝑇)‘𝐴) ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)
15	7, 12, 14	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027   ℋchba 30975   ·_ℎ csm 30977   ·_ih csp 30978  0_ℎc0v 30980  HrmOpcho 31006  eigveccei 31015  eigvalcel 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 31055  ax-hfvadd 31056  ax-hvcom 31057  ax-hvass 31058  ax-hv0cl 31059  ax-hvaddid 31060  ax-hfvmul 31061  ax-hvmulid 31062  ax-hvmulass 31063  ax-hvdistr1 31064  ax-hvdistr2 31065  ax-hvmul0 31066  ax-hfi 31135  ax-his1 31138  ax-his2 31139  ax-his3 31140  ax-his4 31141  ax-hcompl 31258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-lm 23175  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30549  df-gid 30550  df-ginv 30551  df-gdiv 30552  df-ablo 30601  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-vs 30655  df-nmcv 30656  df-ims 30657  df-dip 30757  df-ssp 30778  df-ph 30869  df-cbn 30919  df-hnorm 31024  df-hba 31025  df-hvsub 31027  df-hlim 31028  df-hcau 31029  df-sh 31263  df-ch 31277  df-oc 31308  df-ch0 31309  df-span 31365  df-hmop 31900  df-eigvec 31909  df-eigval 31910

This theorem is referenced by:  eighmorth  32020