Theorem leopmul 32395

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem leopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
3		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	4	3impia 1133	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
6	3, 5	mp3an1 1472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8	7	anim1i 626	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇))
9		leopmuli 32394	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
11		gt0ne0 11667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
12		rereccl 11924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15		hmopm 32282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
16	15	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
17		recgt0 12052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
18		ltle 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
19	3, 13, 18	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
20	17, 19	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	20	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
22	14, 16, 21	jca31 523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
23		leopmuli 32394	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
24	23	anassrs 472	. . . 4 ⊢ (((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
25	22, 24	sylan 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
26		recn 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 11	recid2d 11978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
30	29	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
31	27, 11	reccld 11975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	26	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		hmopf 32135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
35	34	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
36		homulass 32063	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
38		homullid 32061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
39	34, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
40	39	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
41	30, 37, 40	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
42	41	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
43	25, 42	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op 𝑇)
44	10, 43	impbida 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859   ℋchba 31180   ·_op chot 31200   0_hop ch0o 31204  HrmOpcho 31211   ≤_op cleo 31219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346  ax-hcompl 31463

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-lm 23347  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cfil 25375  df-cau 25376  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-dip 30962  df-ssp 30983  df-ph 31074  df-cbn 31124  df-hnorm 31229  df-hba 31230  df-hvsub 31232  df-hlim 31233  df-hcau 31234  df-sh 31468  df-ch 31482  df-oc 31513  df-ch0 31514  df-shs 31569  df-pjh 31656  df-hosum 31991  df-homul 31992  df-hodif 31993  df-h0op 32009  df-hmop 32105  df-leop 32113

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  32406