Theorem leopmul 32769

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem leopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
3		0re 11340	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11428	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	4	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
6	3, 5	mp3an1 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8	7	anim1i 627	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇))
9		leopmuli 32768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
10	2, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
11		gt0ne0 11811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
12		rereccl 12065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15		hmopm 32656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
16	15	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
17		recgt0 12193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
18		ltle 11428	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
19	3, 13, 18	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
20	17, 19	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	20	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
22	14, 16, 21	jca31 524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
23		leopmuli 32768	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
24	23	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
25	22, 24	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
26		recn 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 11	recid2d 12119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
30	29	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
31	27, 11	reccld 12116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	26	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		hmopf 32509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
36		homulass 32437	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
38		homullid 32435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
39	34, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
40	39	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
41	30, 37, 40	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
43	25, 42	breqtrd 5135	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op 𝑇)
44	10, 43	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ⟶wf 6557  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003   ℋchba 31554   ·_op chot 31574   0_hop ch0o 31578  HrmOpcho 31585   ≤_op cleo 31593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310  ax-hilex 31634  ax-hfvadd 31635  ax-hvcom 31636  ax-hvass 31637  ax-hv0cl 31638  ax-hvaddid 31639  ax-hfvmul 31640  ax-hvmulid 31641  ax-hvmulass 31642  ax-hvdistr1 31643  ax-hvdistr2 31644  ax-hvmul0 31645  ax-hfi 31714  ax-his1 31717  ax-his2 31718  ax-his3 31719  ax-his4 31720  ax-hcompl 31837

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-lm 23580  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cfil 25609  df-cau 25610  df-cmet 25611  df-grpo 31128  df-gid 31129  df-ginv 31130  df-gdiv 31131  df-ablo 31180  df-vc 31194  df-nv 31227  df-va 31230  df-ba 31231  df-sm 31232  df-0v 31233  df-vs 31234  df-nmcv 31235  df-ims 31236  df-dip 31336  df-ssp 31357  df-ph 31448  df-cbn 31498  df-hnorm 31603  df-hba 31604  df-hvsub 31606  df-hlim 31607  df-hcau 31608  df-sh 31842  df-ch 31856  df-oc 31887  df-ch0 31888  df-shs 31943  df-pjh 32030  df-hosum 32365  df-homul 32366  df-hodif 32367  df-h0op 32383  df-hmop 32479  df-leop 32487

This theorem is used by:  opsqrlem6  32780