Theorem leopmul 29917

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem leopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
3		0re 10632	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10718	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	4	3impia 1114	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
6	3, 5	mp3an1 1445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8	7	anim1i 617	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇))
9		leopmuli 29916	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
10	2, 8, 9	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
11		gt0ne0 11094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
12		rereccl 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15		hmopm 29804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
16	15	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
17		recgt0 11475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
18		ltle 10718	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
19	3, 13, 18	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
20	17, 19	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	20	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
22	14, 16, 21	jca31 518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
23		leopmuli 29916	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
24	23	anassrs 471	. . . 4 ⊢ (((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
25	22, 24	sylan 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
26		recn 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 11	recid2d 11401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
30	29	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
31	27, 11	reccld 11398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	26	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		hmopf 29657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
35	34	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
36		homulass 29585	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
38		homulid2 29583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
40	39	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
41	30, 37, 40	3eqtr3d 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
42	41	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
43	25, 42	breqtrd 5056	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op 𝑇)
44	10, 43	impbida 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286   ℋchba 28702   ·_op chot 28722   0_hop ch0o 28726  HrmOpcho 28733   ≤_op cleo 28741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868  ax-hcompl 28985

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cfil 23859  df-cau 23860  df-cmet 23861  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-ssp 28505  df-ph 28596  df-cbn 28646  df-hnorm 28751  df-hba 28752  df-hvsub 28754  df-hlim 28755  df-hcau 28756  df-sh 28990  df-ch 29004  df-oc 29035  df-ch0 29036  df-shs 29091  df-pjh 29178  df-hosum 29513  df-homul 29514  df-hodif 29515  df-h0op 29531  df-hmop 29627  df-leop 29635

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29928