Theorem hmdmadj 32201

Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmdmadj	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem hmdmadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 32135	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hon0 32054	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ¬ 𝑇 = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ 𝑇 = ∅)
4		hmopadj 32200	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (adjℎ‘𝑇) = 𝑇)
5	4	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ((adjℎ‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
6	3, 5	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ (adjℎ‘𝑇) = ∅)
7		ndmfv 6903	. 2 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
8	6, 7	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∅c0 4288  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525   ℋchba 31180  HrmOpcho 31211  adj_ℎcado 31216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-hvsub 31232  df-hmop 32105  df-adjh 32110

This theorem is referenced by: (None)