HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmdmadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmdmadj 30288
Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmdmadj (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adj)

Proof of Theorem hmdmadj
StepHypRef Expression
1 hmopf 30222 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 hon0 30141 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ¬ 𝑇 = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ 𝑇 = ∅)
4 hmopadj 30287 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → (adj𝑇) = 𝑇)
54eqeq1d 2740 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → ((adj𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
63, 5mtbird 325 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ (adj𝑇) = ∅)
7 ndmfv 6797 . 2 𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = ∅)
86, 7nsyl2 141 1 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adj)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  c0 4257  dom cdm 5585  wf 6423  cfv 6427  chba 29267  HrmOpcho 29298  adjcado 29303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-hilex 29347  ax-hfvadd 29348  ax-hvcom 29349  ax-hvass 29350  ax-hv0cl 29351  ax-hvaddid 29352  ax-hfvmul 29353  ax-hvmulid 29354  ax-hvdistr2 29357  ax-hvmul0 29358  ax-hfi 29427  ax-his1 29430  ax-his2 29431  ax-his3 29432  ax-his4 29433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-po 5499  df-so 5500  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-2 12024  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-hvsub 29319  df-hmop 30192  df-adjh 30197
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator