Theorem hmdmadj 32329

Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmdmadj	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem hmdmadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 32263	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		hon0 32182	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ¬ 𝑇 = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ 𝑇 = ∅)
4		hmopadj 32328	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (adjℎ‘𝑇) = 𝑇)
5	4	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ((adjℎ‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
6	3, 5	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ¬ (adjℎ‘𝑇) = ∅)
7		ndmfv 6920	. 2 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
8	6, 7	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  dom cdm 5666  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543   ℋchba 31308  HrmOpcho 31339  adj_ℎcado 31344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hvcom 31390  ax-hvass 31391  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395  ax-hvdistr2 31398  ax-hvmul0 31399  ax-hfi 31468  ax-his1 31471  ax-his2 31472  ax-his3 31473  ax-his4 31474

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-hvsub 31360  df-hmop 32233  df-adjh 32238

This theorem is used by: (None)