HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopre 29354
Description: The inner product of the value and argument of a Hermitian operator is real. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopre ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem hmopre
StepHypRef Expression
1 hmop 29353 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴))
213anidm23 1493 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴))
32eqcomd 2784 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)))
4 hmopf 29305 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
54ffvelrnda 6623 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
6 hire 28523 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))))
75, 6sylancom 582 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))))
83, 7mpbird 249 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  chba 28348   ·ih csp 28351  HrmOpcho 28379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-hilex 28428  ax-hfi 28508  ax-his1 28511
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-hmop 29275
This theorem is referenced by:  leop2  29555  leopadd  29563  leopmuli  29564  leoptri  29567  leoptr  29568  leopnmid  29569
  Copyright terms: Public domain W3C validator