Theorem hmopre 31443

Description: The inner product of the value and argument of a Hermitian operator is real. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopre	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem hmopre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmop 31442	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴))
2	1	3anidm23 1419	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴))
3	2	eqcomd 2736	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)))
4		hmopf 31394	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5	4	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6		hire 30614	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))))
7	5, 6	sylancom 586	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))))
8	3, 7	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   ℋchba 30439   ·_ih csp 30442  HrmOpcho 30470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30519  ax-hfi 30599  ax-his1 30602

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hmop 31364

This theorem is referenced by:  leop2  31644  leopadd  31652  leopmuli  31653  leoptri  31656  leoptr  31657  leopnmid  31658