HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopre 31727
Description: The inner product of the value and argument of a Hermitian operator is real. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopre ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem hmopre
StepHypRef Expression
1 hmop 31726 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴))
213anidm23 1419 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴))
32eqcomd 2734 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)))
4 hmopf 31678 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
54ffvelcdmda 7089 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
6 hire 30898 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))))
75, 6sylancom 587 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))))
83, 7mpbird 257 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6543  (class class class)co 7415  cr 11132  chba 30723   ·ih csp 30726  HrmOpcho 30754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-hilex 30803  ax-hfi 30883  ax-his1 30886
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-2 12300  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-hmop 31648
This theorem is referenced by:  leop2  31928  leopadd  31936  leopmuli  31937  leoptri  31940  leoptr  31941  leopnmid  31942
  Copyright terms: Public domain W3C validator