Theorem leopadd 32727

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopadd	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Proof of Theorem leopadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3123	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 32518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 32518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		addge0 11798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
5	4	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	2, 3, 5	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7	6	anandirs 692	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
8		hmopf 32469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9		hmopf 32469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
11		hosval 32335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13	12	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
14		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
17	16	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19		ax-his2 31678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	13, 20	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
22	10, 21	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
23	22	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
24	7, 23	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26	1, 25	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27		leoppos 32721	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28		leoppos 32721	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
29	27, 28	bi2anan9 650	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
30		hmops 32615	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
31		leoppos 32721	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
33	26, 29, 32	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈)))
34	33	imp 412	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   + caddc 11196   ≤ cle 11337   ℋchba 31514   +_ℎ cva 31515   ·_ih csp 31517   +_op chos 31533   0_hop ch0o 31538  HrmOpcho 31545   ≤_op cleo 31553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-pjh 31990  df-hosum 32325  df-homul 32326  df-hodif 32327  df-h0op 32343  df-hmop 32439  df-leop 32447

This theorem is used by:  opsqrlem6  32740