Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopadd (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑇 ∧ 0hopop 𝑈)) → 0hopop (𝑇 +op 𝑈))

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3137 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2 hmopre 29716 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3 hmopre 29716 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4 addge0 11121 . . . . . . . . 9 (((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
54ex 416 . . . . . . . 8 ((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
62, 3, 5syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
76anandirs 678 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
8 hmopf 29667 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9 hmopf 29667 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
108, 9anim12i 615 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
11 hosval 29533 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)))
1211oveq1d 7151 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥))
13123expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥))
14 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1514adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
1716adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
18 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19 ax-his2 28876 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2015, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2113, 20eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2210, 21sylan 583 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2322breq2d 5043 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
247, 23sylibrd 262 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2524ralimdva 3144 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
261, 25syl5bir 246 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27 leoppos 29919 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hopop 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
28 leoppos 29919 . . . 4 (𝑈 ∈ HrmOp → ( 0hopop 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2927, 28bi2anan9 638 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hopop 𝑇 ∧ 0hopop 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
30 hmops 29813 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
31 leoppos 29919 . . . 4 ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp → ( 0hopop (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hopop (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3326, 29, 323imtr4d 297 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hopop 𝑇 ∧ 0hopop 𝑈) → 0hopop (𝑇 +op 𝑈)))
3433imp 410 1 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑇 ∧ 0hopop 𝑈)) → 0hopop (𝑇 +op 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   ≤ cle 10668   ℋchba 28712   +ℎ cva 28713   ·ih csp 28715   +op chos 28731   0hop ch0o 28736  HrmOpcho 28743   ≤op cleo 28751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28792  ax-hfvadd 28793  ax-hvcom 28794  ax-hvass 28795  ax-hv0cl 28796  ax-hvaddid 28797  ax-hfvmul 28798  ax-hvmulid 28799  ax-hvmulass 28800  ax-hvdistr1 28801  ax-hvdistr2 28802  ax-hvmul0 28803  ax-hfi 28872  ax-his1 28875  ax-his2 28876  ax-his3 28877  ax-his4 28878  ax-hcompl 28995 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-acn 9358  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-lm 21844  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cfil 23869  df-cau 23870  df-cmet 23871  df-grpo 28286  df-gid 28287  df-ginv 28288  df-gdiv 28289  df-ablo 28338  df-vc 28352  df-nv 28385  df-va 28388  df-ba 28389  df-sm 28390  df-0v 28391  df-vs 28392  df-nmcv 28393  df-ims 28394  df-dip 28494  df-ssp 28515  df-ph 28606  df-cbn 28656  df-hnorm 28761  df-hba 28762  df-hvsub 28764  df-hlim 28765  df-hcau 28766  df-sh 29000  df-ch 29014  df-oc 29045  df-ch0 29046  df-shs 29101  df-pjh 29188  df-hosum 29523  df-homul 29524  df-hodif 29525  df-h0op 29541  df-hmop 29637  df-leop 29645 This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29938
 Copyright terms: Public domain W3C validator