Theorem leopadd 32613

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopadd	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Proof of Theorem leopadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3122	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 32404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 32404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		addge0 11727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
5	4	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	2, 3, 5	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7	6	anandirs 692	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
8		hmopf 32355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9		hmopf 32355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
11		hosval 32221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13	12	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
14		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
17	16	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19		ax-his2 31564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	13, 20	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
22	10, 21	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
23	22	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
24	7, 23	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26	1, 25	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27		leoppos 32607	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28		leoppos 32607	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
29	27, 28	bi2anan9 650	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
30		hmops 32501	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
31		leoppos 32607	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
33	26, 29, 32	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈)))
34	33	imp 412	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   ≤ cle 11268   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401   ·_ih csp 31403   +_op chos 31419   0_hop ch0o 31424  HrmOpcho 31431   ≤_op cleo 31439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566  ax-hcompl 31683

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-lm 23454  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cfil 25483  df-cau 25484  df-cmet 25485  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-gdiv 30977  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-vs 31080  df-nmcv 31081  df-ims 31082  df-dip 31182  df-ssp 31203  df-ph 31294  df-cbn 31344  df-hnorm 31449  df-hba 31450  df-hvsub 31452  df-hlim 31453  df-hcau 31454  df-sh 31688  df-ch 31702  df-oc 31733  df-ch0 31734  df-shs 31789  df-pjh 31876  df-hosum 32211  df-homul 32212  df-hodif 32213  df-h0op 32229  df-hmop 32325  df-leop 32333

This theorem is used by:  opsqrlem6  32626