Theorem leopadd 32220

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopadd	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Proof of Theorem leopadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3098	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 32011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 32011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		addge0 11638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
5	4	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	2, 3, 5	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7	6	anandirs 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
8		hmopf 31962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9		hmopf 31962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	anim12i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
11		hosval 31828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13	12	3expa 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
14		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
17	16	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19		ax-his2 31171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	13, 20	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
22	10, 21	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
23	22	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
24	7, 23	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	ralimdva 3150	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26	1, 25	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27		leoppos 32214	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28		leoppos 32214	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
29	27, 28	bi2anan9 639	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
30		hmops 32108	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
31		leoppos 32214	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
33	26, 29, 32	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈)))
34	33	imp 406	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11179   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   ·_ih csp 31010   +_op chos 31026   0_hop ch0o 31031  HrmOpcho 31038   ≤_op cleo 31046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173  ax-hcompl 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ims 30689  df-dip 30789  df-ssp 30810  df-ph 30901  df-cbn 30951  df-hnorm 31056  df-hba 31057  df-hvsub 31059  df-hlim 31060  df-hcau 31061  df-sh 31295  df-ch 31309  df-oc 31340  df-ch0 31341  df-shs 31396  df-pjh 31483  df-hosum 31818  df-homul 31819  df-hodif 31820  df-h0op 31836  df-hmop 31932  df-leop 31940

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  32233