Theorem leopadd 30395

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopadd	⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Proof of Theorem leopadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 30186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 30186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		addge0 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
5	4	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
6	2, 3, 5	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
7	6	anandirs 675	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
8		hmopf 30137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9		hmopf 30137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
11		hosval 30003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)))
12	11	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
13	12	3expa 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
14		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
15	14	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
17	16	adantll 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19		ax-his2 29346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	13, 20	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
22	10, 21	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
23	22	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) + ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
24	7, 23	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
25	24	ralimdva 3102	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26	1, 25	syl5bir 242	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
27		leoppos 30389	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
28		leoppos 30389	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
29	27, 28	bi2anan9 635	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
30		hmops 30283	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp)
31		leoppos 30389	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
33	26, 29, 32	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈)))
34	33	imp 406	1 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑇 ∧ 0hop ≤op 𝑈)) → 0hop ≤op (𝑇 +op 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ih csp 29185   +_op chos 29201   0_hop ch0o 29206  HrmOpcho 29213   ≤_op cleo 29221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-pjh 29658  df-hosum 29993  df-homul 29994  df-hodif 29995  df-h0op 30011  df-hmop 30107  df-leop 30115

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  30408