HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem leopadd 31372
Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopadd (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))
Proof of Theorem leopadd
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3111 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2 hmopre 31163 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3 hmopre 31163 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4 addge0 11699 . . . . . . . . 9 (((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
54ex 413 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
62, 3, 5syl2an 596 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
76anandirs 677 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
8 hmopf 31114 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
9 hmopf 31114 . . . . . . . . 9 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
108, 9anim12i 613 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
11 hosval 30980 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1211oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
13123expa 1118 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
14 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1514adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
16 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
19 ax-his2 30323 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2015, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2113, 20eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2210, 21sylan 580 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2322breq2d 5159 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
247, 23sylibrd 258 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2524ralimdva 3167 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
261, 25biimtrrid 242 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
27 leoppos 31366 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
28 leoppos 31366 . . . 4 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘ˆ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2927, 28bi2anan9 637 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
30 hmops 31260 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
31 leoppos 31366 . . . 4 ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3326, 29, 323imtr4d 293 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)))
3433imp 407 1 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5147  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   โ‰ค cle 11245   โ„‹chba 30159   +โ„Ž cva 30160   ยทih csp 30162   +op chos 30178   0hop ch0o 30183  HrmOpcho 30190   โ‰คop cleo 30198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635  df-hosum 30970  df-homul 30971  df-hodif 30972  df-h0op 30988  df-hmop 31084  df-leop 31092
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator