HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem leopadd 31889
Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopadd (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))
Proof of Theorem leopadd
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3105 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2 hmopre 31680 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3 hmopre 31680 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4 addge0 11704 . . . . . . . . 9 (((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
54ex 412 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
62, 3, 5syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
76anandirs 676 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
8 hmopf 31631 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
9 hmopf 31631 . . . . . . . . 9 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
108, 9anim12i 612 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
11 hosval 31497 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1211oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
13123expa 1115 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ))
14 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1514adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
16 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
19 ax-his2 30840 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2015, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2113, 20eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2210, 21sylan 579 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2322breq2d 5153 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) + ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
247, 23sylibrd 259 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2524ralimdva 3161 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
261, 25biimtrrid 242 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
27 leoppos 31883 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
28 leoppos 31883 . . . 4 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘ˆ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2927, 28bi2anan9 636 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
30 hmops 31777 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
31 leoppos 31883 . . . 4 ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
3326, 29, 323imtr4d 294 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)))
3433imp 406 1 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘‡ โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ˆ)) โ†’ 0hop โ‰คop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   โ‰ค cle 11250   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทih csp 30679   +op chos 30695   0hop ch0o 30700  HrmOpcho 30707   โ‰คop cleo 30715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842  ax-hcompl 30959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-lm 23083  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cfil 25133  df-cau 25134  df-cmet 25135  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-dip 30458  df-ssp 30479  df-ph 30570  df-cbn 30620  df-hnorm 30725  df-hba 30726  df-hvsub 30728  df-hlim 30729  df-hcau 30730  df-sh 30964  df-ch 30978  df-oc 31009  df-ch0 31010  df-shs 31065  df-pjh 31152  df-hosum 31487  df-homul 31488  df-hodif 31489  df-h0op 31505  df-hmop 31601  df-leop 31609
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31902
  Copyright terms: Public domain W3C validator