Theorem opsqrlem1 31431

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem1.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3	⊢ 0hop ≤op 𝑇
opsqrlem1.4	⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem1	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmopf 31165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		nmopge0 31202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
6		opsqrlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
7	6	sqrtcli 15320	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ
9		hmopm 31312	. . . . 5 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
10	8, 9	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
11	10	ad2antlr 725	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
12	6	sqrtge0i 15325	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)))
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇))
14		leopmuli 31424	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)) ∧ 0hop ≤op 𝑢)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
15	13, 14	mpanr1 701	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
16	8, 15	mpanl1 698	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
17	16	ad2ant2lr 746	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
18		hmopf 31165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
19	8	recni 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ
20		homulcl 31050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22		homco1 31092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
23	19, 22	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
24	18, 21, 23	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
25		hmoplin 31233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26		homco2 31268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
27	19, 26	mp3an1 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
28	25, 18, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
29	28	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
30		fco 6741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
31	18, 18, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
32		homulass 31093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
33	19, 19, 32	mp3an12 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
35	6	sqrtthi 15319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇))
36	5, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇)
37	36	oveq1i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))
38	34, 37	eqtr3di 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
39	24, 29, 38	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
40	39	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
41		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)
42		opsqrlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
43	41, 42	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇))
44	43	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
45		hmoplin 31233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
47		nmlnopne0 31290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
49	6	recni 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
50	49	recidzi 11943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
51	48, 50	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
52	51	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
53	6	rerecclzi 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
54	48, 53	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
56		homulass 31093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
57	49, 3, 56	mp3an13 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
59		homullid 31091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
60	3, 59	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
61	52, 58, 60	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
62	44, 61	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
63	62	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
64	40, 63	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
65	64	adantrl 714	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hop ≤op 𝑣 ↔ 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
67		coeq1 5857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68		coeq2 5858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
69	67, 68	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
70	69	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
71	66, 70	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
72	71	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
73	11, 17, 65, 72	syl12anc 835	. 2 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
74		opsqrlem1.5	. 2 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))
75	73, 74	r19.29a 3162	1 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11251   / cdiv 11873  √csqrt 15182   ℋchba 30210   ·_op chot 30230   0_hop ch0o 30234  norm_opcnop 30236  LinOpclo 30238  HrmOpcho 30241   ≤_op cleo 30249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-lno 30035  df-nmoo 30036  df-0o 30038  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-pjh 30686  df-hosum 31021  df-homul 31022  df-hodif 31023  df-h0op 31039  df-nmop 31130  df-lnop 31132  df-hmop 31135  df-leop 31143

This theorem is referenced by: (None)