HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem1 29340
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2 (normop𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3 0hopop 𝑇
opsqrlem1.4 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmopf 29074 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 nmopge0 29111 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (normop𝑇)
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7 (normop𝑇) ∈ ℝ
76sqrtcli 14320 . . . . . 6 (0 ≤ (normop𝑇) → (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . 5 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ
9 hmopm 29221 . . . . 5 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
108, 9mpan 664 . . . 4 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
1110ad2antlr 700 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
126sqrtge0i 14325 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop𝑇)))
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (√‘(normop𝑇))
14 leopmuli 29333 . . . . . 6 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop𝑇)) ∧ 0hopop 𝑢)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1513, 14mpanr1 677 . . . . 5 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
168, 15mpanl1 674 . . . 4 ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1716ad2ant2lr 736 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
18 hmopf 29074 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
198recni 10255 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ
20 homulcl 28959 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
2119, 20mpan 664 . . . . . . . . 9 (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
2218, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
23 homco1 29001 . . . . . . . . 9 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2419, 23mp3an1 1559 . . . . . . . 8 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2518, 22, 24syl2anc 567 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
26 hmoplin 29142 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
27 homco2 29177 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2819, 27mp3an1 1559 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2926, 18, 28syl2anc 567 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
3029oveq2d 6810 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
316sqrtthi 14319 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop𝑇) → ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇))
325, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇)
3332oveq1i 6804 . . . . . . . 8 (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢))
34 fco 6199 . . . . . . . . . 10 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
3518, 18, 34syl2anc 567 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
36 homulass 29002 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3719, 19, 36mp3an12 1562 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3933, 38syl5reqr 2820 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
4025, 30, 393eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
4140ad2antlr 700 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
42 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = 𝑅)
43 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
4442, 43syl6eq 2821 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇))
4544oveq2d 6810 . . . . . . 7 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
46 hmoplin 29142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
471, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
48 nmlnopne0 29199 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ LinOp → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
506recni 10255 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5150recidzi 10955 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5249, 51sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5352oveq1d 6809 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
546rerecclzi 10992 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5549, 54sylbir 225 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5655recnd 10271 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
57 homulass 29002 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5850, 3, 57mp3an13 1563 . . . . . . . . 9 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5956, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
60 homulid2 29000 . . . . . . . . 9 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
613, 60mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
6253, 59, 613eqtr3d 2813 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
6345, 62sylan9eqr 2827 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6463adantlr 688 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6541, 64eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
6665adantrl 689 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
67 breq2 4791 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hopop 𝑣 ↔ 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
68 coeq1 5419 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
69 coeq2 5420 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
7068, 69eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
7170eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
7267, 71anbi12d 610 . . . 4 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
7372rspcev 3461 . . 3 ((((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
7411, 17, 66, 73syl12anc 1474 . 2 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
75 opsqrlem1.5 . 2 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
7674, 75r19.29a 3226 1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4787  ccom 5254  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   · cmul 10144  cle 10278   / cdiv 10887  csqrt 14182  chil 28117   ·op chot 28137   0hop ch0o 28141  normopcnop 28143  LinOpclo 28145  HrmOpcho 28148  op cleo 28156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cc 9460  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvcom 28199  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvmulass 28205  ax-hvdistr1 28206  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208  ax-hfi 28277  ax-his1 28280  ax-his2 28281  ax-his3 28282  ax-his4 28283  ax-hcompl 28400
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-omul 7719  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-acn 8969  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-lm 21255  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cfil 23273  df-cau 23274  df-cmet 23275  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-gdiv 27691  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-vs 27795  df-nmcv 27796  df-ims 27797  df-dip 27897  df-ssp 27918  df-lno 27940  df-nmoo 27941  df-0o 27943  df-ph 28009  df-cbn 28060  df-hnorm 28166  df-hba 28167  df-hvsub 28169  df-hlim 28170  df-hcau 28171  df-sh 28405  df-ch 28419  df-oc 28450  df-ch0 28451  df-shs 28508  df-pjh 28595  df-hosum 28930  df-homul 28931  df-hodif 28932  df-h0op 28948  df-nmop 29039  df-lnop 29041  df-hmop 29044  df-leop 29052
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator