Theorem opsqrlem1 32084

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem1.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3	⊢ 0hop ≤op 𝑇
opsqrlem1.4	⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem1	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmopf 31818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		nmopge0 31855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
6		opsqrlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
7	6	sqrtcli 15279	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ
9		hmopm 31965	. . . . 5 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
11	10	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
12	6	sqrtge0i 15284	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)))
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇))
14		leopmuli 32077	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)) ∧ 0hop ≤op 𝑢)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
15	13, 14	mpanr1 703	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
16	8, 15	mpanl1 700	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
17	16	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
18		hmopf 31818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
19	8	recni 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ
20		homulcl 31703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22		homco1 31745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
23	19, 22	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
24	18, 21, 23	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
25		hmoplin 31886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26		homco2 31921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
27	19, 26	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
28	25, 18, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
29	28	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
30		fco 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
31	18, 18, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
32		homulass 31746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
33	19, 19, 32	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
35	6	sqrtthi 15278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇))
36	5, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇)
37	36	oveq1i 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))
38	34, 37	eqtr3di 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
39	24, 29, 38	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
40	39	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
41		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)
42		opsqrlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
43	41, 42	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇))
44	43	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
45		hmoplin 31886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
47		nmlnopne0 31943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
49	6	recni 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
50	49	recidzi 11851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
51	48, 50	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
52	51	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
53	6	rerecclzi 11888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
54	48, 53	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
56		homulass 31746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
57	49, 3, 56	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
59		homullid 31744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
60	3, 59	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
61	52, 58, 60	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
62	44, 61	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
63	62	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
64	40, 63	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
65	64	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66		breq2 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hop ≤op 𝑣 ↔ 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
67		coeq1 5800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68		coeq2 5801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
69	67, 68	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
70	69	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
71	66, 70	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
72	71	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
73	11, 17, 65, 72	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
74		opsqrlem1.5	. 2 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))
75	73, 74	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  √csqrt 15140   ℋchba 30863   ·_op chot 30883   0_hop ch0o 30887  norm_opcnop 30889  LinOpclo 30891  HrmOpcho 30894   ≤_op cleo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ssp 30666  df-lno 30688  df-nmoo 30689  df-0o 30691  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197  df-shs 31252  df-pjh 31339  df-hosum 31674  df-homul 31675  df-hodif 31676  df-h0op 31692  df-nmop 31783  df-lnop 31785  df-hmop 31788  df-leop 31796

This theorem is referenced by: (None)