HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem1 29932
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2 (normop𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3 0hopop 𝑇
opsqrlem1.4 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmopf 29666 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 nmopge0 29703 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (normop𝑇)
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7 (normop𝑇) ∈ ℝ
76sqrtcli 14733 . . . . . 6 (0 ≤ (normop𝑇) → (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . 5 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ
9 hmopm 29813 . . . . 5 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
108, 9mpan 689 . . . 4 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
1110ad2antlr 726 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
126sqrtge0i 14738 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop𝑇)))
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (√‘(normop𝑇))
14 leopmuli 29925 . . . . . 6 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop𝑇)) ∧ 0hopop 𝑢)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1513, 14mpanr1 702 . . . . 5 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
168, 15mpanl1 699 . . . 4 ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1716ad2ant2lr 747 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
18 hmopf 29666 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
198recni 10655 . . . . . . . . 9 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ
20 homulcl 29551 . . . . . . . . 9 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
2119, 20mpan 689 . . . . . . . 8 (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22 homco1 29593 . . . . . . . . 9 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2319, 22mp3an1 1445 . . . . . . . 8 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2418, 21, 23syl2anc2 588 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
25 hmoplin 29734 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26 homco2 29769 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2719, 26mp3an1 1445 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2825, 18, 27syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2928oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
306sqrtthi 14732 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop𝑇) → ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇))
315, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇)
3231oveq1i 7161 . . . . . . . 8 (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢))
33 fco 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
3418, 18, 33syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
35 homulass 29594 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3619, 19, 35mp3an12 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3832, 37syl5reqr 2874 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
3924, 29, 383eqtrd 2863 . . . . . 6 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
4039ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
41 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = 𝑅)
42 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
4341, 42syl6eq 2875 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇))
4443oveq2d 7167 . . . . . . 7 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
45 hmoplin 29734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
461, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
47 nmlnopne0 29791 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ LinOp → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
496recni 10655 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5049recidzi 11367 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5148, 50sylbir 238 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5251oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
536rerecclzi 11404 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5448, 53sylbir 238 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5554recnd 10669 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
56 homulass 29594 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5749, 3, 56mp3an13 1449 . . . . . . . . 9 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
59 homulid2 29592 . . . . . . . . 9 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
603, 59mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
6152, 58, 603eqtr3d 2867 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
6244, 61sylan9eqr 2881 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6362adantlr 714 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6440, 63eqtrd 2859 . . . 4 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
6564adantrl 715 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66 breq2 5057 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hopop 𝑣 ↔ 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
67 coeq1 5716 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68 coeq2 5717 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
6967, 68eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
7069eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
7166, 70anbi12d 633 . . . 4 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
7271rspcev 3609 . . 3 ((((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
7311, 17, 65, 72syl12anc 835 . 2 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
74 opsqrlem1.5 . 2 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
7573, 74r19.29a 3281 1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134   class class class wbr 5053  ccom 5547  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  cle 10676   / cdiv 11297  csqrt 14594  chba 28711   ·op chot 28731   0hop ch0o 28735  normopcnop 28737  LinOpclo 28739  HrmOpcho 28742  op cleo 28750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28791  ax-hfvadd 28792  ax-hvcom 28793  ax-hvass 28794  ax-hv0cl 28795  ax-hvaddid 28796  ax-hfvmul 28797  ax-hvmulid 28798  ax-hvmulass 28799  ax-hvdistr1 28800  ax-hvdistr2 28801  ax-hvmul0 28802  ax-hfi 28871  ax-his1 28874  ax-his2 28875  ax-his3 28876  ax-his4 28877  ax-hcompl 28994
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-omul 8105  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-lm 21843  df-haus 21929  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cfil 23868  df-cau 23869  df-cmet 23870  df-grpo 28285  df-gid 28286  df-ginv 28287  df-gdiv 28288  df-ablo 28337  df-vc 28351  df-nv 28384  df-va 28387  df-ba 28388  df-sm 28389  df-0v 28390  df-vs 28391  df-nmcv 28392  df-ims 28393  df-dip 28493  df-ssp 28514  df-lno 28536  df-nmoo 28537  df-0o 28539  df-ph 28605  df-cbn 28655  df-hnorm 28760  df-hba 28761  df-hvsub 28763  df-hlim 28764  df-hcau 28765  df-sh 28999  df-ch 29013  df-oc 29044  df-ch0 29045  df-shs 29100  df-pjh 29187  df-hosum 29522  df-homul 29523  df-hodif 29524  df-h0op 29540  df-nmop 29631  df-lnop 29633  df-hmop 29636  df-leop 29644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator