HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem1 31124
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem1.2 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
opsqrlem1.3 0hop โ‰คop ๐‘‡
opsqrlem1.4 ๐‘… = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)
opsqrlem1.5 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
Distinct variable group:   ๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฃ,๐‘ข)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
2 hmopf 30858 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 nmopge0 30895 . . . . . . 7 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
76sqrtcli 15262 . . . . . 6 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
85, 7ax-mp 5 . . . . 5 (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
9 hmopm 31005 . . . . 5 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
108, 9mpan 689 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
1110ad2antlr 726 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
126sqrtge0i 15267 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)))
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))
14 leopmuli 31117 . . . . . 6 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข)) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
1513, 14mpanr1 702 . . . . 5 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
168, 15mpanl1 699 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ HrmOp โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
1716ad2ant2lr 747 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
18 hmopf 30858 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹)
198recni 11174 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚
20 homulcl 30743 . . . . . . . . 9 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
2119, 20mpan 689 . . . . . . . 8 (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
22 homco1 30785 . . . . . . . . 9 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
2319, 22mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
2418, 21, 23syl2anc2 586 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
25 hmoplin 30926 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ข โˆˆ LinOp)
26 homco2 30961 . . . . . . . . . 10 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2719, 26mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2825, 18, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2928oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
30 fco 6693 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
3118, 18, 30syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 homulass 30786 . . . . . . . . . 10 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
3319, 19, 32mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
356sqrtthi 15261 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) = (normopโ€˜๐‘‡))
365, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) = (normopโ€˜๐‘‡)
3736oveq1i 7368 . . . . . . . 8 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))
3834, 37eqtr3di 2788 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
3924, 29, 383eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
4039ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
41 id 22 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)
42 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9 ๐‘… = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡))
4443oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
45 hmoplin 30926 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
461, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
47 nmlnopne0 30983 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ๐‘‡ โ‰  0hop ))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ๐‘‡ โ‰  0hop )
496recni 11174 . . . . . . . . . . 11 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
5049recidzi 11887 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = 1)
5148, 50sylbir 234 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = 1)
5251oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = (1 ยทop ๐‘‡))
536rerecclzi 11924 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5448, 53sylbir 234 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5554recnd 11188 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
56 homulass 30786 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
5749, 3, 56mp3an13 1453 . . . . . . . . 9 ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
59 homulid2 30784 . . . . . . . . 9 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
603, 59mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
6152, 58, 603eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)) = ๐‘‡)
6244, 61sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6362adantlr 714 . . . . 5 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6440, 63eqtrd 2773 . . . 4 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6564adantrl 715 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)
66 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โ†” 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
67 coeq1 5814 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ๐‘ฃ))
68 coeq2 5815 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
6967, 68eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
7069eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ ((๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡ โ†” (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡))
7166, 70anbi12d 632 . . . 4 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡) โ†” ( 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆง (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)))
7271rspcev 3580 . . 3 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp โˆง ( 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆง (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
7311, 17, 65, 72syl12anc 836 . 2 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
74 opsqrlem1.5 . 2 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…))
7573, 74r19.29a 3156 1 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   โˆ˜ ccom 5638  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โˆšcsqrt 15124   โ„‹chba 29903   ยทop chot 29923   0hop ch0o 29927  normopcnop 29929  LinOpclo 29931  HrmOpcho 29934   โ‰คop cleo 29942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-lno 29728  df-nmoo 29729  df-0o 29731  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379  df-hosum 30714  df-homul 30715  df-hodif 30716  df-h0op 30732  df-nmop 30823  df-lnop 30825  df-hmop 30828  df-leop 30836
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator