Theorem opsqrlem1 32429

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem1.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3	⊢ 0hop ≤op 𝑇
opsqrlem1.4	⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem1	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmopf 32163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		nmopge0 32200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
6		opsqrlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
7	6	sqrtcli 15419	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ
9		hmopm 32310	. . . . 5 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
10	8, 9	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
11	10	ad2antlr 739	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
12	6	sqrtge0i 15424	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)))
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇))
14		leopmuli 32422	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)) ∧ 0hop ≤op 𝑢)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
15	13, 14	mpanr1 715	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
16	8, 15	mpanl1 712	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
17	16	ad2ant2lr 760	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
18		hmopf 32163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
19	8	recni 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ
20		homulcl 32048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22		homco1 32090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
23	19, 22	mp3an1 1474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
24	18, 21, 23	syl2anc2 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
25		hmoplin 32231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26		homco2 32266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
27	19, 26	mp3an1 1474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
28	25, 18, 27	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
29	28	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
30		fco 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
31	18, 18, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
32		homulass 32091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
33	19, 19, 32	mp3an12 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
35	6	sqrtthi 15418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇))
36	5, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇)
37	36	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))
38	34, 37	eqtr3di 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
39	24, 29, 38	3eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
40	39	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
41		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)
42		opsqrlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
43	41, 42	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇))
44	43	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
45		hmoplin 32231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
47		nmlnopne0 32288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
49	6	recni 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
50	49	recidzi 11938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
51	48, 50	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
52	51	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
53	6	rerecclzi 11975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
54	48, 53	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
56		homulass 32091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
57	49, 3, 56	mp3an13 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
58	55, 57	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
59		homullid 32089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
60	3, 59	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
61	52, 58, 60	3eqtr3d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
62	44, 61	sylan9eqr 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
63	62	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
64	40, 63	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
65	64	adantrl 728	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hop ≤op 𝑣 ↔ 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
67		coeq1 5841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68		coeq2 5842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
69	67, 68	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
70	69	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
71	66, 70	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
72	71	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
73	11, 17, 65, 72	syl12anc 849	. 2 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
74		opsqrlem1.5	. 2 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))
75	73, 74	r19.29a 3179	1 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   ≤ cle 11240   / cdiv 11867  √csqrt 15280   ℋchba 31208   ·_op chot 31228   0_hop ch0o 31232  norm_opcnop 31234  LinOpclo 31236  HrmOpcho 31239   ≤_op cleo 31247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-lno 31033  df-nmoo 31034  df-0o 31036  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-pjh 31684  df-hosum 32019  df-homul 32020  df-hodif 32021  df-h0op 32037  df-nmop 32128  df-lnop 32130  df-hmop 32133  df-leop 32141

This theorem is referenced by: (None)