Theorem opsqrlem1 32735

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem1.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3	⊢ 0hop ≤op 𝑇
opsqrlem1.4	⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem1	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmopf 32469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		nmopge0 32506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
6		opsqrlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
7	6	sqrtcli 15532	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ
9		hmopm 32616	. . . . 5 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
10	8, 9	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
11	10	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
12	6	sqrtge0i 15537	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)))
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇))
14		leopmuli 32728	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)) ∧ 0hop ≤op 𝑢)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
15	13, 14	mpanr1 716	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
16	8, 15	mpanl1 713	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
17	16	ad2ant2lr 761	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
18		hmopf 32469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
19	8	recni 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ
20		homulcl 32354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22		homco1 32396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
23	19, 22	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
24	18, 21, 23	syl2anc2 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
25		hmoplin 32537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26		homco2 32572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
27	19, 26	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
28	25, 18, 27	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
29	28	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
30		fco 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
31	18, 18, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
32		homulass 32397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
33	19, 19, 32	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
35	6	sqrtthi 15531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇))
36	5, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇)
37	36	oveq1i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))
38	34, 37	eqtr3di 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
39	24, 29, 38	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
40	39	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
41		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)
42		opsqrlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
43	41, 42	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇))
44	43	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
45		hmoplin 32537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
47		nmlnopne0 32594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
49	6	recni 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
50	49	recidzi 12037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
51	48, 50	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
52	51	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
53	6	rerecclzi 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
54	48, 53	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
56		homulass 32397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
57	49, 3, 56	mp3an13 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
58	55, 57	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
59		homullid 32395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
60	3, 59	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
61	52, 58, 60	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
62	44, 61	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
63	62	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
64	40, 63	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
65	64	adantrl 729	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hop ≤op 𝑣 ↔ 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
67		coeq1 5835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68		coeq2 5836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
69	67, 68	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
70	69	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
71	66, 70	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
72	71	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
73	11, 17, 65, 72	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
74		opsqrlem1.5	. 2 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))
75	73, 74	r19.29a 3171	1 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  √csqrt 15393   ℋchba 31514   ·_op chot 31534   0_hop ch0o 31538  norm_opcnop 31540  LinOpclo 31542  HrmOpcho 31545   ≤_op cleo 31553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-lno 31339  df-nmoo 31340  df-0o 31342  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-pjh 31990  df-hosum 32325  df-homul 32326  df-hodif 32327  df-h0op 32343  df-nmop 32434  df-lnop 32436  df-hmop 32439  df-leop 32447

This theorem is used by: (None)