Theorem opsqrlem1 32042

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem1.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3	⊢ 0hop ≤op 𝑇
opsqrlem1.4	⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem1	⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmopf 31776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		nmopge0 31813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
6		opsqrlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
7	6	sqrtcli 15314	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ
9		hmopm 31923	. . . . 5 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
11	10	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
12	6	sqrtge0i 15319	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)))
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (√‘(normop‘𝑇))
14		leopmuli 32035	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop‘𝑇)) ∧ 0hop ≤op 𝑢)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
15	13, 14	mpanr1 703	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
16	8, 15	mpanl1 700	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hop ≤op 𝑢) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
17	16	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))
18		hmopf 31776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
19	8	recni 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ
20		homulcl 31661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
22		homco1 31703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
23	19, 22	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
24	18, 21, 23	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))))
25		hmoplin 31844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
26		homco2 31879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
27	19, 26	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
28	25, 18, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
29	28	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
30		fco 6694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
31	18, 18, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
32		homulass 31704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
33	19, 19, 32	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))))
35	6	sqrtthi 15313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ (normop‘𝑇) → ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇))
36	5, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) = (normop‘𝑇)
37	36	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(normop‘𝑇)) · (√‘(normop‘𝑇))) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))
38	34, 37	eqtr3di 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop‘𝑇)) ·op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op (𝑢 ∘ 𝑢))) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
39	24, 29, 38	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
40	39	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)))
41		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)
42		opsqrlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)
43	41, 42	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → (𝑢 ∘ 𝑢) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇))
44	43	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅 → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
45		hmoplin 31844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
47		nmlnopne0 31901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
49	6	recni 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
50	49	recidzi 11885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
51	48, 50	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) = 1)
52	51	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
53	6	rerecclzi 11922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
54	48, 53	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
56		homulass 31704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
57	49, 3, 56	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (((normop‘𝑇) · (1 / (normop‘𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)))
59		homullid 31702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
60	3, 59	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
61	52, 58, 60	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ((normop‘𝑇) ·op ((1 / (normop‘𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
62	44, 61	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
63	62	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → ((normop‘𝑇) ·op (𝑢 ∘ 𝑢)) = 𝑇)
64	40, 63	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
65	64	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
66		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hop ≤op 𝑣 ↔ 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
67		coeq1 5811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
68		coeq2 5812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
69	67, 68	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣 ∘ 𝑣) = (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)))
70	69	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
71	66, 70	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑣 = ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
72	71	rspcev 3585	. . 3 ⊢ ((((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hop ≤op ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop‘𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
73	11, 17, 65, 72	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑇 ≠ 0hop ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))
74		opsqrlem1.5	. 2 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑢 ∧ (𝑢 ∘ 𝑢) = 𝑅))
75	73, 74	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hop ≤op 𝑣 ∧ (𝑣 ∘ 𝑣) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  √csqrt 15175   ℋchba 30821   ·_op chot 30841   0_hop ch0o 30845  norm_opcnop 30847  LinOpclo 30849  HrmOpcho 30852   ≤_op cleo 30860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987  ax-hcompl 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-lm 23092  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cfil 25131  df-cau 25132  df-cmet 25133  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-dip 30603  df-ssp 30624  df-lno 30646  df-nmoo 30647  df-0o 30649  df-ph 30715  df-cbn 30765  df-hnorm 30870  df-hba 30871  df-hvsub 30873  df-hlim 30874  df-hcau 30875  df-sh 31109  df-ch 31123  df-oc 31154  df-ch0 31155  df-shs 31210  df-pjh 31297  df-hosum 31632  df-homul 31633  df-hodif 31634  df-h0op 31650  df-nmop 31741  df-lnop 31743  df-hmop 31746  df-leop 31754

This theorem is referenced by: (None)