HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem1 31380
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem1.2 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
opsqrlem1.3 0hop โ‰คop ๐‘‡
opsqrlem1.4 ๐‘… = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)
opsqrlem1.5 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
Distinct variable group:   ๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฃ,๐‘ข)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
2 hmopf 31114 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 nmopge0 31151 . . . . . . 7 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
76sqrtcli 15314 . . . . . 6 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
85, 7ax-mp 5 . . . . 5 (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
9 hmopm 31261 . . . . 5 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
108, 9mpan 688 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
1110ad2antlr 725 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp)
126sqrtge0i 15319 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)))
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))
14 leopmuli 31373 . . . . . 6 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (0 โ‰ค (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข)) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
1513, 14mpanr1 701 . . . . 5 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
168, 15mpanl1 698 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ HrmOp โˆง 0hop โ‰คop ๐‘ข) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
1716ad2ant2lr 746 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))
18 hmopf 31114 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹)
198recni 11224 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚
20 homulcl 30999 . . . . . . . . 9 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
2119, 20mpan 688 . . . . . . . 8 (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
22 homco1 31041 . . . . . . . . 9 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
2319, 22mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
2418, 21, 23syl2anc2 585 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))))
25 hmoplin 31182 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ข โˆˆ LinOp)
26 homco2 31217 . . . . . . . . . 10 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ข โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2719, 26mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2825, 18, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
2928oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข))) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
30 fco 6738 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
3118, 18, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 homulass 31042 . . . . . . . . . 10 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
3319, 19, 32mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))))
356sqrtthi 15313 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) = (normopโ€˜๐‘‡))
365, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) = (normopโ€˜๐‘‡)
3736oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยท (โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡))) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))
3834, 37eqtr3di 2787 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข))) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
3924, 29, 383eqtrd 2776 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ HrmOp โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
4039ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)))
41 id 22 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)
42 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9 ๐‘… = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)
4341, 42eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡))
4443oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘… โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
45 hmoplin 31182 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
461, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
47 nmlnopne0 31239 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ๐‘‡ โ‰  0hop ))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ๐‘‡ โ‰  0hop )
496recni 11224 . . . . . . . . . . 11 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
5049recidzi 11937 . . . . . . . . . 10 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = 1)
5148, 50sylbir 234 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = 1)
5251oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = (1 ยทop ๐‘‡))
536rerecclzi 11974 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5448, 53sylbir 234 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5554recnd 11238 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
56 homulass 31042 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
5749, 3, 56mp3an13 1452 . . . . . . . . 9 ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยทop ๐‘‡) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)))
59 homullid 31040 . . . . . . . . 9 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
603, 59mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
6152, 58, 603eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘‡)) = ๐‘‡)
6244, 61sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6362adantlr 713 . . . . 5 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยทop (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6440, 63eqtrd 2772 . . . 4 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)
6564adantrl 714 . . 3 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)
66 breq2 5151 . . . . 5 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โ†” 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
67 coeq1 5855 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ๐‘ฃ))
68 coeq2 5856 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
6967, 68eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)))
7069eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ ((๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡ โ†” (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡))
7166, 70anbi12d 631 . . . 4 (๐‘ฃ = ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โ†’ (( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡) โ†” ( 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆง (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)))
7271rspcev 3612 . . 3 ((((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆˆ HrmOp โˆง ( 0hop โ‰คop ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆง (((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข) โˆ˜ ((โˆšโ€˜(normopโ€˜๐‘‡)) ยทop ๐‘ข)) = ๐‘‡)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
7311, 17, 65, 72syl12anc 835 . 2 (((๐‘‡ โ‰  0hop โˆง ๐‘ข โˆˆ HrmOp) โˆง ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
74 opsqrlem1.5 . 2 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ข โˆง (๐‘ข โˆ˜ ๐‘ข) = ๐‘…))
7573, 74r19.29a 3162 1 (๐‘‡ โ‰  0hop โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ HrmOp ( 0hop โ‰คop ๐‘ฃ โˆง (๐‘ฃ โˆ˜ ๐‘ฃ) = ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245   / cdiv 11867  โˆšcsqrt 15176   โ„‹chba 30159   ยทop chot 30179   0hop ch0o 30183  normopcnop 30185  LinOpclo 30187  HrmOpcho 30190   โ‰คop cleo 30198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-lno 29984  df-nmoo 29985  df-0o 29987  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635  df-hosum 30970  df-homul 30971  df-hodif 30972  df-h0op 30988  df-nmop 31079  df-lnop 31081  df-hmop 31084  df-leop 31092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator