HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosub4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hosub4 31321
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hosub4 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) โˆ’op (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐‘… โˆ’op ๐‘‡) +op (๐‘† โˆ’op ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem hosub4
StepHypRef Expression
1 honegdi 31317 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((-1 ยทop ๐‘‡) +op (-1 ยทop ๐‘ˆ)))
21adantl 482 . . . 4 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((-1 ยทop ๐‘‡) +op (-1 ยทop ๐‘ˆ)))
32oveq2d 7427 . . 3 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op ๐‘†) +op ((-1 ยทop ๐‘‡) +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))))
4 neg1cn 12330 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
5 homulcl 31267 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
64, 5mpan 688 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
7 homulcl 31267 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (-1 ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
84, 7mpan 688 . . . . 5 (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (-1 ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
96, 8anim12i 613 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
10 hoadd4 31292 . . . 4 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ((-1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (-1 ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op ((-1 ยทop ๐‘‡) +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) +op (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))))
119, 10sylan2 593 . . 3 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op ((-1 ยทop ๐‘‡) +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) +op (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))))
123, 11eqtrd 2772 . 2 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) +op (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))))
13 hoaddcl 31266 . . 3 ((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘… +op ๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹)
14 hoaddcl 31266 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
15 honegsub 31307 . . 3 (((๐‘… +op ๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op ๐‘†) โˆ’op (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)))
1613, 14, 15syl2an 596 . 2 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) +op (-1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))) = ((๐‘… +op ๐‘†) โˆ’op (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)))
17 honegsub 31307 . . . 4 ((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘… โˆ’op ๐‘‡))
1817ad2ant2r 745 . . 3 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘… โˆ’op ๐‘‡))
19 honegsub 31307 . . . 4 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘ˆ))
2019ad2ant2l 744 . . 3 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘ˆ))
2118, 20oveq12d 7429 . 2 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op (-1 ยทop ๐‘‡)) +op (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘ˆ))) = ((๐‘… โˆ’op ๐‘‡) +op (๐‘† โˆ’op ๐‘ˆ)))
2212, 16, 213eqtr3d 2780 1 (((๐‘…: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐‘… +op ๐‘†) โˆ’op (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐‘… โˆ’op ๐‘‡) +op (๐‘† โˆ’op ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸถwf 6539  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449   โ„‹chba 30427   +op chos 30446   ยทop chot 30447   โˆ’op chod 30448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593  ax-hcompl 30710
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 24996  df-cau 24997  df-cmet 24998  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-dip 30209  df-ssp 30230  df-ph 30321  df-cbn 30371  df-hnorm 30476  df-hba 30477  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-hcau 30481  df-sh 30715  df-ch 30729  df-oc 30760  df-ch0 30761  df-shs 30816  df-pjh 30903  df-hosum 31238  df-homul 31239  df-hodif 31240  df-h0op 31256
This theorem is referenced by:  hosubadd4  31322
  Copyright terms: Public domain W3C validator