Theorem hosub4 31785

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hosub4	⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))

Proof of Theorem hosub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		honegdi 31781	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈)))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈)))
3	2	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))))
4		neg1cn 12105	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		homulcl 31731	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
7		homulcl 31731	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
8	4, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑈: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9	6, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
10		hoadd4 31756	. . . 4 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
11	9, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
12	3, 11	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
13		hoaddcl 31730	. . 3 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 +op 𝑆): ℋ⟶ ℋ)
14		hoaddcl 31730	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
15		honegsub 31771	. . 3 ⊢ (((𝑅 +op 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)))
17		honegsub 31771	. . . 4 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑅 −op 𝑇))
18	17	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑅 −op 𝑇))
19		honegsub 31771	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑆 −op 𝑈))
20	19	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑆 −op 𝑈))
21	18, 20	oveq12d 7359	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))
22	12, 16, 21	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6472  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002  -cneg 11340   ℋchba 30891   +_op chos 30910   ·_op chot 30911   −_op chod 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr1 30980  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057  ax-hcompl 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-acn 9830  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-lm 23139  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cfil 25177  df-cau 25178  df-cmet 25179  df-grpo 30465  df-gid 30466  df-ginv 30467  df-gdiv 30468  df-ablo 30517  df-vc 30531  df-nv 30564  df-va 30567  df-ba 30568  df-sm 30569  df-0v 30570  df-vs 30571  df-nmcv 30572  df-ims 30573  df-dip 30673  df-ssp 30694  df-ph 30785  df-cbn 30835  df-hnorm 30940  df-hba 30941  df-hvsub 30943  df-hlim 30944  df-hcau 30945  df-sh 31179  df-ch 31193  df-oc 31224  df-ch0 31225  df-shs 31280  df-pjh 31367  df-hosum 31702  df-homul 31703  df-hodif 31704  df-h0op 31720

This theorem is referenced by:  hosubadd4  31786