Theorem hosub4 29387

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hosub4	⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))

Proof of Theorem hosub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		honegdi 29383	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈)))
2	1	adantl 474	. . . 4 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈)))
3	2	oveq2d 6991	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))))
4		neg1cn 11560	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		homulcl 29333	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
6	4, 5	mpan 678	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
7		homulcl 29333	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
8	4, 7	mpan 678	. . . . 5 ⊢ (𝑈: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9	6, 8	anim12i 604	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
10		hoadd4 29358	. . . 4 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
11	9, 10	sylan2 584	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op ((-1 ·op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
12	3, 11	eqtrd 2809	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))))
13		hoaddcl 29332	. . 3 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 +op 𝑆): ℋ⟶ ℋ)
14		hoaddcl 29332	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
15		honegsub 29373	. . 3 ⊢ (((𝑅 +op 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)))
16	13, 14, 15	syl2an 587	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) +op (-1 ·op (𝑇 +op 𝑈))) = ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)))
17		honegsub 29373	. . . 4 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑅 −op 𝑇))
18	17	ad2ant2r 735	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑅 −op 𝑇))
19		honegsub 29373	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑆 −op 𝑈))
20	19	ad2ant2l 734	. . 3 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑆 −op 𝑈))
21	18, 20	oveq12d 6993	. 2 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op (-1 ·op 𝑇)) +op (𝑆 +op (-1 ·op 𝑈))) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))
22	12, 16, 21	3eqtr3d 2817	1 ⊢ (((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝑅 +op 𝑆) −op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝑅 −op 𝑇) +op (𝑆 −op 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ⟶wf 6182  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  1c1 10335  -cneg 10670   ℋchba 28491   +_op chos 28510   ·_op chot 28511   −_op chod 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cc 9654  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414  ax-hilex 28571  ax-hfvadd 28572  ax-hvcom 28573  ax-hvass 28574  ax-hv0cl 28575  ax-hvaddid 28576  ax-hfvmul 28577  ax-hvmulid 28578  ax-hvmulass 28579  ax-hvdistr1 28580  ax-hvdistr2 28581  ax-hvmul0 28582  ax-hfi 28651  ax-his1 28654  ax-his2 28655  ax-his3 28656  ax-his4 28657  ax-hcompl 28774

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-omul 7909  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-acn 9164  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-submnd 17817  df-mulg 18025  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-lm 21557  df-haus 21643  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-cfil 23577  df-cau 23578  df-cmet 23579  df-grpo 28063  df-gid 28064  df-ginv 28065  df-gdiv 28066  df-ablo 28115  df-vc 28129  df-nv 28162  df-va 28165  df-ba 28166  df-sm 28167  df-0v 28168  df-vs 28169  df-nmcv 28170  df-ims 28171  df-dip 28271  df-ssp 28292  df-ph 28383  df-cbn 28434  df-hnorm 28540  df-hba 28541  df-hvsub 28543  df-hlim 28544  df-hcau 28545  df-sh 28779  df-ch 28793  df-oc 28824  df-ch0 28825  df-shs 28882  df-pjh 28969  df-hosum 29304  df-homul 29305  df-hodif 29306  df-h0op 29322

This theorem is referenced by:  hosubadd4  29388