HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjadd 31601
Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjadd ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† +op ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
Proof of Theorem adjadd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 31396 . . 3 (๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 dmadjop 31396 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 hoaddcl 31266 . . 3 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
5 dmadjrn 31403 . . . 4 (๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ dom adjโ„Ž)
6 dmadjop 31396 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . 3 (๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹)
8 dmadjrn 31403 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
9 dmadjop 31396 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
108, 9syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
11 hoaddcl 31266 . . 3 (((adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
127, 10, 11syl2an 596 . 2 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
13 adj2 31442 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
14133expb 1120 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
1514adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
16 adj2 31442 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
17163expb 1120 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1817adantll 712 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1915, 18oveq12d 7429 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
201ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
2120ad2ant2r 745 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
222ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
2322ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
24 simprr 771 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
25 ax-his2 30591 . . . . . 6 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
27 simprl 769 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
28 adjcl 31440 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2928ad2ant2rl 747 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
30 adjcl 31440 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
3130ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
32 his7 30598 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3419, 26, 333eqtr4rd 2783 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
357, 10anim12i 613 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
36 hosval 31248 . . . . . . . 8 (((adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
37363expa 1118 . . . . . . 7 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3835, 37sylan 580 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3938adantrl 714 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
4039oveq2d 7427 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
411, 2anim12i 613 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
42 hosval 31248 . . . . . . . 8 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
43423expa 1118 . . . . . . 7 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4441, 43sylan 580 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4544adantrr 715 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4645oveq1d 7426 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
4734, 40, 463eqtr4rd 2783 . . 3 (((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
4847ralrimivva 3200 . 2 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
49 adjeq 31443 . 2 (((๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† +op ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
504, 12, 48, 49syl3anc 1371 1 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† +op ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) +op (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  dom cdm 5676  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   + caddc 11115   โ„‹chba 30427   +โ„Ž cva 30428   ยทih csp 30430   +op chos 30446  adjโ„Žcado 30463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30479  df-hosum 31238  df-adjh 31357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator