![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > homulid2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
homulid2 | โข (๐: โโถ โ โ (1 ยทop ๐) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1cn 11114 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | homval 30725 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง ๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (1 ยทโ (๐โ๐ฅ))) | |
3 | 1, 2 | mp3an1 1449 | . . . 4 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (1 ยทโ (๐โ๐ฅ))) |
4 | ffvelcdm 7033 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐โ๐ฅ) โ โ) | |
5 | ax-hvmulid 29990 | . . . . 5 โข ((๐โ๐ฅ) โ โ โ (1 ยทโ (๐โ๐ฅ)) = (๐โ๐ฅ)) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (1 ยทโ (๐โ๐ฅ)) = (๐โ๐ฅ)) |
7 | 3, 6 | eqtrd 2773 | . . 3 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ)) |
8 | 7 | ralrimiva 3140 | . 2 โข (๐: โโถ โ โ โ๐ฅ โ โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ)) |
9 | homulcl 30743 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐: โโถ โ) โ (1 ยทop ๐): โโถ โ) | |
10 | 1, 9 | mpan 689 | . . 3 โข (๐: โโถ โ โ (1 ยทop ๐): โโถ โ) |
11 | hoeq 30744 | . . 3 โข (((1 ยทop ๐): โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ) โ (1 ยทop ๐) = ๐)) | |
12 | 10, 11 | mpancom 687 | . 2 โข (๐: โโถ โ โ (โ๐ฅ โ โ ((1 ยทop ๐)โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ) โ (1 ยทop ๐) = ๐)) |
13 | 8, 12 | mpbid 231 | 1 โข (๐: โโถ โ โ (1 ยทop ๐) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 โถwf 6493 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11054 1c1 11057 โchba 29903 ยทโ csm 29905 ยทop chot 29923 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-1cn 11114 ax-hilex 29983 ax-hfvmul 29989 ax-hvmulid 29990 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-map 8770 df-homul 30715 |
This theorem is referenced by: honegneg 30790 ho2times 30803 leopmul 31118 nmopleid 31123 opsqrlem1 31124 opsqrlem6 31129 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |