Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem honegsub 29588
 Description: Relationship between Hilbert space operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
honegsub ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑇op 𝑈))

Proof of Theorem honegsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 7156 . . 3 (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op 𝑈)))
2 oveq1 7156 . . 3 (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (𝑇op 𝑈) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op 𝑈))
31, 2eqeq12d 2840 . 2 (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑇op 𝑈) ↔ (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op 𝑈)) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op 𝑈)))
4 oveq2 7157 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ) → (-1 ·op 𝑈) = (-1 ·op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop )))
54oveq2d 7165 . . 3 (𝑈 = if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ) → (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op 𝑈)) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ))))
6 oveq2 7157 . . 3 (𝑈 = if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ) → (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op 𝑈) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop )))
75, 6eqeq12d 2840 . 2 (𝑈 = if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ) → ((if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op 𝑈)) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op 𝑈) ↔ (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ))) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ))))
8 ho0f 29540 . . . 4 0hop : ℋ⟶ ℋ
98elimf 6502 . . 3 if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
108elimf 6502 . . 3 if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
119, 10honegsubi 29585 . 2 (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) +op (-1 ·op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ))) = (if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) −op if(𝑈: ℋ⟶ ℋ, 𝑈, 0hop ))
123, 7, 11dedth2h 4507 1 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑇op 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ifcif 4450  ⟶wf 6339  (class class class)co 7149  1c1 10536  -cneg 10869   ℋchba 28708   +op chos 28727   ·op chot 28728   −op chod 28729   0hop ch0o 28732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28788  ax-hfvadd 28789  ax-hvcom 28790  ax-hvass 28791  ax-hv0cl 28792  ax-hvaddid 28793  ax-hfvmul 28794  ax-hvmulid 28795  ax-hvmulass 28796  ax-hvdistr1 28797  ax-hvdistr2 28798  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his2 28872  ax-his3 28873  ax-his4 28874  ax-hcompl 28991 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20139  df-xmet 20140  df-met 20141  df-bl 20142  df-mopn 20143  df-fbas 20144  df-fg 20145  df-cnfld 20148  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-lm 21840  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cfil 23865  df-cau 23866  df-cmet 23867  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389  df-ims 28390  df-dip 28490  df-ssp 28511  df-ph 28602  df-cbn 28652  df-hnorm 28757  df-hba 28758  df-hvsub 28760  df-hlim 28761  df-hcau 28762  df-sh 28996  df-ch 29010  df-oc 29041  df-ch0 29042  df-shs 29097  df-pjh 29184  df-hosum 29519  df-homul 29520  df-hodif 29521  df-h0op 29537 This theorem is referenced by:  hosubneg  29596  hosubdi  29597  honegsubdi  29599  honegsubdi2  29600  hosubsub2  29601  hosub4  29602  hosubsub4  29607  hmopd  29811
 Copyright terms: Public domain W3C validator