Theorem indpreima 32624

Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpreima	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6668	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3		cnvimass 6033	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4		fdm 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
6	3, 5	sseqtrid 3996	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7		indf 32614	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
8	6, 7	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9	8	ffnd 6669	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
11	10	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {0, 1})
12		prcom 4693	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
13	11, 12	eleqtrdi 2848	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {1, 0})
14	8	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
15	14, 12	eleqtrdi 2848	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19		ind1a 32618	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
21		fniniseg 7010	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
22	2, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
23	22	baibd 540	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹‘𝑥) = 1))
24	20, 23	bitr2d 279	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
25	13, 15, 24	elpreq 31457	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥))
26	2, 9, 25	eqfnfvd 6985	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  0cc0 11051  1c1 11052  𝟭cind 32609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-ind 32610

This theorem is referenced by:  indf1ofs  32625