Theorem indpreima 33989

Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpreima	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6747	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3		cnvimass 6111	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4		fdm 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
6	3, 5	sseqtrid 4061	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7		indf 33979	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
8	6, 7	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9	8	ffnd 6748	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
11	10	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {0, 1})
12		prcom 4757	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
13	11, 12	eleqtrdi 2854	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {1, 0})
14	8	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
15	14, 12	eleqtrdi 2854	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19		ind1a 33983	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
21		fniniseg 7093	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
22	2, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
23	22	baibd 539	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹‘𝑥) = 1))
24	20, 23	bitr2d 280	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
25	13, 15, 24	elpreq 32558	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥))
26	2, 9, 25	eqfnfvd 7067	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185  𝟭cind 33974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-ind 33975

This theorem is referenced by:  indf1ofs  33990