Theorem indpreima 33166

Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpreima	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6707	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3		cnvimass 6086	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4		fdm 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
5	4	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
6	3, 5	sseqtrid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7		indf 12225	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
8	6, 7	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9	8	ffnd 6708	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
11	10	ffvelcdmda 7081	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {0, 1})
12		prcom 4699	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
13	11, 12	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {1, 0})
14	8	ffvelcdmda 7081	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
15	14, 12	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19		ind1a 12230	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
21		fniniseg 7057	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
22	2, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
23	22	baibd 548	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹‘𝑥) = 1))
24	20, 23	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
25	13, 15, 24	elpreq 32855	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥))
26	2, 9, 25	eqfnfvd 7030	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {csn 4590  {cpr 4592  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0cc0 11101  1c1 11102  𝟭cind 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-ind 12220

This theorem is referenced by:  indf1ofs  33167  indfsid  33170