Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpreima 32850
Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpreima ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6736 . . 3 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
21adantl 481 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3 cnvimass 6100 . . . . 5 (𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4 fdm 6745 . . . . . 6 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
63, 5sseqtrid 4026 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7 indf 32840 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
86, 7syldan 591 . . 3 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
98ffnd 6737 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
1110ffvelcdmda 7104 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
12 prcom 4732 . . . 4 {0, 1} = {1, 0}
1311, 12eleqtrdi 2851 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {1, 0})
148ffvelcdmda 7104 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
1514, 12eleqtrdi 2851 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16 simpll 767 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑂𝑉)
176adantr 480 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18 simpr 484 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑥𝑂)
19 ind1a 32844 . . . . 5 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
21 fniniseg 7080 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
222, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
2322baibd 539 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹𝑥) = 1))
2420, 23bitr2d 280 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((𝐹𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
2513, 15, 24elpreq 32548 . 2 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥))
262, 9, 25eqfnfvd 7054 1 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  𝟭cind 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ind 32836
This theorem is referenced by:  indf1ofs  32851
  Copyright terms: Public domain W3C validator