Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpreima 32452
Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpreima ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6665 . . 3 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
21adantl 482 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3 cnvimass 6031 . . . . 5 (𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4 fdm 6674 . . . . . 6 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
63, 5sseqtrid 3994 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7 indf 32442 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
86, 7syldan 591 . . 3 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
98ffnd 6666 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
1110ffvelcdmda 7031 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
12 prcom 4691 . . . 4 {0, 1} = {1, 0}
1311, 12eleqtrdi 2848 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {1, 0})
148ffvelcdmda 7031 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
1514, 12eleqtrdi 2848 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16 simpll 765 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑂𝑉)
176adantr 481 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18 simpr 485 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑥𝑂)
19 ind1a 32446 . . . . 5 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
21 fniniseg 7007 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
222, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
2322baibd 540 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹𝑥) = 1))
2420, 23bitr2d 279 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((𝐹𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
2513, 15, 24elpreq 31302 . 2 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥))
262, 9, 25eqfnfvd 6982 1 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586  ccnv 5630  dom cdm 5631  cima 5634   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  0cc0 11009  1c1 11010  𝟭cind 32437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-ind 32438
This theorem is referenced by:  indf1ofs  32453
  Copyright terms: Public domain W3C validator