Theorem indpreima 33478

Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpreima	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6709	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3		cnvimass 6198	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4		fdm 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
6	3, 5	sseqtrid 3950	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7		indf 12329	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
8	6, 7	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9	8	ffnd 6710	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
11	10	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {0, 1})
12		prcom 4689	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
13	11, 12	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) ∈ {1, 0})
14	8	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
15	14, 12	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
16		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19		ind1a 12334	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1})))
21		fniniseg 7059	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
22	2, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑥) = 1)))
23	22	baibd 549	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹‘𝑥) = 1))
24	20, 23	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
25	13, 15, 24	elpreq 33171	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (𝐹‘𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1}))‘𝑥))
26	2, 9, 25	eqfnfvd 7032	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  {csn 4584  {cpr 4586  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  𝟭cind 12323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-ind 12324

This theorem is used by:  indf1ofs  33479  indfsid  33482