Theorem alephmul 10501

Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 10004	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
3		ssdomg 8947	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
5	1, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6		alephon 9991	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
7		onenon 9873	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
9	5, 8	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10		alephgeom 10004	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
12		ssdomg 8947	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14		infn0 9212	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
16	10, 15	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17		alephon 9991	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
18		onenon 9873	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
20	16, 19	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21		infxp 10136	. 2 ⊢ ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
22	9, 20, 21	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   × cxp 5629  dom cdm 5631  Oncon0 6323  ‘cfv 6498  ωcom 7817   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891  cardccrd 9859  ℵcale 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-har 9472  df-dju 9825  df-card 9863  df-aleph 9864

This theorem is referenced by: (None)