MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephmul 10618
Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephmul ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul
StepHypRef Expression
1 alephgeom 10122 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2 fvex 6919 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ V
3 ssdomg 9040 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
51, 4sylbi 217 . . 3 (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6 alephon 10109 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
7 onenon 9989 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
95, 8jctil 519 . 2 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10 alephgeom 10122 . . . 4 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11 fvex 6919 . . . . . 6 (ℵ‘𝐵) ∈ V
12 ssdomg 9040 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14 infn0 9340 . . . . 5 (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1610, 15sylbi 217 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17 alephon 10109 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
18 onenon 9989 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
2016, 19jctil 519 . 2 (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21 infxp 10254 . 2 ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
229, 20, 21syl2an 596 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  Oncon0 6384  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  cardccrd 9975  cale 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-dju 9941  df-card 9979  df-aleph 9980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator