Theorem alephmul 10618

Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 10122	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
3		ssdomg 9040	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
5	1, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6		alephon 10109	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
7		onenon 9989	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
9	5, 8	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10		alephgeom 10122	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
12		ssdomg 9040	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14		infn0 9340	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
16	10, 15	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17		alephon 10109	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
18		onenon 9989	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
20	16, 19	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21		infxp 10254	. 2 ⊢ ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
22	9, 20, 21	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  cardccrd 9975  ℵcale 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-dju 9941  df-card 9979  df-aleph 9980

This theorem is referenced by: (None)