Theorem alephmul 9716

Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 9219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		fvex 6447	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
3		ssdomg 8269	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
5	1, 4	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6		alephon 9206	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
7		onenon 9089	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
9	5, 8	jctil 517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10		alephgeom 9219	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11		fvex 6447	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
12		ssdomg 8269	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14		infn0 8492	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
16	10, 15	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17		alephon 9206	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
18		onenon 9089	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
20	16, 19	jctil 517	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21		infxp 9353	. 2 ⊢ ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
22	9, 20, 21	syl2an 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ∪ cun 3797   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145   class class class wbr 4874   × cxp 5341  dom cdm 5343  Oncon0 5964  ‘cfv 6124  ωcom 7327   ≈ cen 8220   ≼ cdom 8221  cardccrd 9075  ℵcale 9076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-oi 8685  df-har 8733  df-card 9079  df-aleph 9080  df-cda 9306

This theorem is referenced by: (None)