Theorem alephmul 10489

Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 9992	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
3		ssdomg 8937	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
5	1, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6		alephon 9979	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
7		onenon 9861	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
9	5, 8	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10		alephgeom 9992	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
12		ssdomg 8937	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14		infn0 9202	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
16	10, 15	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17		alephon 9979	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
18		onenon 9861	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
20	16, 19	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21		infxp 10124	. 2 ⊢ ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
22	9, 20, 21	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   × cxp 5622  dom cdm 5624  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  ωcom 7808   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  cardccrd 9847  ℵcale 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-har 9462  df-dju 9813  df-card 9851  df-aleph 9852

This theorem is referenced by: (None)