Theorem alephmul 10480

Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 9984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		fvex 6844	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
3		ssdomg 8933	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
5	1, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6		alephon 9971	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
7		onenon 9853	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
9	5, 8	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10		alephgeom 9984	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11		fvex 6844	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
12		ssdomg 8933	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14		infn0 9197	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
16	10, 15	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17		alephon 9971	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
18		onenon 9853	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
20	16, 19	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21		infxp 10116	. 2 ⊢ ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
22	9, 20, 21	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5095   × cxp 5619  dom cdm 5621  Oncon0 6314  ‘cfv 6489  ωcom 7805   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877  cardccrd 9839  ℵcale 9840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9407  df-har 9454  df-dju 9805  df-card 9843  df-aleph 9844

This theorem is referenced by: (None)