MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephmul 10616
Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephmul ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul
StepHypRef Expression
1 alephgeom 10120 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2 fvex 6920 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ V
3 ssdomg 9039 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
51, 4sylbi 217 . . 3 (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6 alephon 10107 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
7 onenon 9987 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
95, 8jctil 519 . 2 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10 alephgeom 10120 . . . 4 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11 fvex 6920 . . . . . 6 (ℵ‘𝐵) ∈ V
12 ssdomg 9039 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14 infn0 9338 . . . . 5 (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1610, 15sylbi 217 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17 alephon 10107 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
18 onenon 9987 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
2016, 19jctil 519 . 2 (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21 infxp 10252 . 2 ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
229, 20, 21syl2an 596 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  Oncon0 6386  cfv 6563  ωcom 7887  cen 8981  cdom 8982  cardccrd 9973  cale 9974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-har 9595  df-dju 9939  df-card 9977  df-aleph 9978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator