MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephmul 9998
Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephmul ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul
StepHypRef Expression
1 alephgeom 9506 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2 fvex 6674 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ V
3 ssdomg 8551 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
51, 4sylbi 220 . . 3 (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6 alephon 9493 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
7 onenon 9375 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
95, 8jctil 523 . 2 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10 alephgeom 9506 . . . 4 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11 fvex 6674 . . . . . 6 (ℵ‘𝐵) ∈ V
12 ssdomg 8551 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14 infn0 8777 . . . . 5 (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1610, 15sylbi 220 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17 alephon 9493 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
18 onenon 9375 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
2016, 19jctil 523 . 2 (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21 infxp 9635 . 2 ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
229, 20, 21syl2an 598 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  cun 3917  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5052   × cxp 5540  dom cdm 5542  Oncon0 6178  cfv 6343  ωcom 7574  cen 8502  cdom 8503  cardccrd 9361  cale 9362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-oi 8971  df-har 9018  df-dju 9327  df-card 9365  df-aleph 9366
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator