MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infsdomnnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infsdomnnOLD 9324
Description: Obsolete version of infsdomnn 9323 as of 7-Jan-2025. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infsdomnnOLD ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem infsdomnnOLD
StepHypRef Expression
1 reldom 8963 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 5729 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
3 nnsdomg 9320 . . 3 ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
42, 3sylan 578 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
5 simpl 481 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
6 sdomdomtr 9128 . 2 ((𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵𝐴)
74, 5, 6syl2anc 582 1 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144  ωcom 7865  cdom 8955  csdm 8956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7866  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator