Theorem infn0ALT 9298

Description: Shorter proof of infn0 9297 using ax-un 7751. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infn0ALT	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7900	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		infsdomnn 9296	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ≺ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
4		reldom 8982	. . . 4 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5707	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 9128	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	mpbid 235	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ωcom 7877   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8479  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980

This theorem is used by: (None)