Theorem infn0ALT 9206

Description: Shorter proof of infn0 9205 using ax-un 7682. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infn0ALT	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7833	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		infsdomnn 9204	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ≺ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
4		reldom 8892	. . . 4 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5681	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 9037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	mpbid 232	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ωcom 7810   ≼ cdom 8884   ≺ csdm 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890

This theorem is referenced by: (None)