Theorem infxp 10255

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxp	⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9021	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		infxpabs 10252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
3		infunabs 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
5	4	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
6	5	ensymd 9046	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
7		entr 9047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
9	8	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
10	9	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
11	1, 10	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
12		domtri2 10030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	12	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
14		xpcomeng 9105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
15	14	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
16		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
17		domtr 9048	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
18	17	ad4ant24 754	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
19		infn0 9341	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
20	19	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22		infxpabs 10252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
23	16, 18, 20, 21, 22	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
24		uncom 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
25		infunabs 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
26	16, 18, 21, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
27	24, 26	eqbrtrid 5177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐵)
28	27	ensymd 9046	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
29		entr 9047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
31		entr 9047	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
32	15, 30, 31	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
34	13, 33	sylbird 260	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
35	11, 34	pm2.61d 179	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∪ cun 3948  ∅c0 4332   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  ωcom 7888   ≈ cen 8983   ≼ cdom 8984   ≺ csdm 8985  cardccrd 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980

This theorem is referenced by:  alephmul  10619