Theorem infxp 10220

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxp	⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8990	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		infxpabs 10217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
3		infunabs 10212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
5	4	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
6	5	ensymd 9015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
7		entr 9016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
9	8	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
10	9	adantrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
11	1, 10	syl5 35	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
12		domtri2 9998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	12	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
14		xpcomeng 9071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
15	14	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
16		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
17		domtr 9017	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
18	17	ad4ant24 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
19		infn0 9276	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
20	19	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
21		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22		infxpabs 10217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
23	16, 18, 20, 21, 22	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
24		uncom 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
25		infunabs 10212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
26	16, 18, 21, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
27	24, 26	eqbrtrid 5144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐵)
28	27	ensymd 9015	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
29		entr 9016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
31		entr 9016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
32	15, 30, 31	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
34	13, 33	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
35	11, 34	pm2.61d 181	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∪ cun 3900  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   × cxp 5657  dom cdm 5659  ωcom 7866   ≈ cen 8953   ≼ cdom 8954   ≺ csdm 8955  cardccrd 9944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948

This theorem is used by:  alephmul  10591