Theorem infxp 10295

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxp	⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9010	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		infxpabs 10292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
3		infunabs 10287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
5	4	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
6	5	ensymd 9035	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
7		entr 9036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
9	8	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
10	9	adantrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
11	1, 10	syl5 35	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
12		domtri2 10073	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	12	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
14		xpcomeng 9091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
15	14	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
16		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
17		domtr 9037	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
18	17	ad4ant24 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
19		infn0 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
20	19	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
21		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22		infxpabs 10292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
23	16, 18, 20, 21, 22	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
24		uncom 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
25		infunabs 10287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
26	16, 18, 21, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
27	24, 26	eqbrtrid 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐵)
28	27	ensymd 9035	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
29		entr 9036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
31		entr 9036	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
32	15, 30, 31	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
34	13, 33	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
35	11, 34	pm2.61d 181	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650  ωcom 7877   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975  cardccrd 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023

This theorem is used by:  alephmul  10666