Theorem infxp 10198

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxp	⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8978	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		infxpabs 10195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
3		infunabs 10190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
5	4	adantrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
6	5	ensymd 9003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
7		entr 9004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
9	8	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
10	9	adantrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
11	1, 10	syl5 35	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
12		domtri2 9976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	12	ad2ant2r 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
14		xpcomeng 9058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
15	14	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
16		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
17		domtr 9005	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
18	17	ad4ant24 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
19		infn0 9263	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
20	19	ad3antlr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
21		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22		infxpabs 10195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
23	16, 18, 20, 21, 22	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵)
24		uncom 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
25		infunabs 10190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
26	16, 18, 21, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≈ 𝐵)
27	24, 26	eqbrtrid 5147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐵)
28	27	ensymd 9003	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
29		entr 9004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	23, 28, 29	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
31		entr 9004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
32	15, 30, 31	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
33	32	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
34	13, 33	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
35	11, 34	pm2.61d 181	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∪ cun 3904  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   × cxp 5661  dom cdm 5663  ωcom 7863   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926

This theorem is referenced by:  alephmul  10564