Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicoelioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicoelioo 32787
Description: Relate elementhood to a closed-below, open-above interval with elementhood to the same open interval or to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
elicoelioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))

Proof of Theorem elicoelioo
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4 elico1 13427 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
54biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
65simp1d 1141 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
71, 2, 3, 6syl21anc 838 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85simp2d 1142 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
91, 2, 3, 8syl21anc 838 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴𝐶)
101, 2jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
11 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
125simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
1310, 3, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
14 elioo1 13424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1514notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1615biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
17 3anan32 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
1817notbii 320 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
19 imnan 399 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
2018, 19bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2116, 20sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2221imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵)) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
2310, 11, 7, 13, 22syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
24 xeqlelt 32785 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)))
2524biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 = 𝐶)
261, 7, 9, 23, 25syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
2726ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 = 𝐶))
28 eqcom 2742 . . . . 5 (𝐴 = 𝐶𝐶 = 𝐴)
2927, 28imbitrdi 251 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴))
30 pm5.6 1003 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
3129, 30sylib 218 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
32 orcom 870 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3331, 32imbitrdi 251 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
34 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
35 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3634, 35eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3735xrleidd 13191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐴)
3837, 34breqtrrd 5176 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
39 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
4034, 39eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
41 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4235, 41, 4syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4336, 38, 40, 42mpbir3and 1341 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
44 ioossico 13475 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
45 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4644, 45sselid 3993 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4743, 46jaodan 959 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4847ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)))
4933, 48impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388  df-ico 13390
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33902
  Copyright terms: Public domain W3C validator