Theorem iocinif 33419

Description: Relate intersection of two open-below, closed-above intervals with the same upper bound with a conditional construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Proof of Theorem iocinif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 908	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵)
2		xrltle 13281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	3	3adantl3 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		iocinioc2 33417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
6	4, 5	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)))
8	7	ancld 560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))))
9		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
12		xrlenlt 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
13	12	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
15		3ancoma 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
16		incom 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶))
17		iocinioc2 33417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
18	16, 17	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
19	15, 18	sylanbr 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
20	14, 19	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))
22	21	ancld 560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
23	8, 22	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))))
24	1, 23	mpi 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
25		eqif 4523	. 2 ⊢ (((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
26	24, 25	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089  ifcif 4481   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  (,]cioc 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-ioc 13484

This theorem is used by:  pnfneige0  34629