Theorem iocinif 33260

Description: Relate intersection of two open-below, closed-above intervals with the same upper bound with a conditional construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Proof of Theorem iocinif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 908	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵)
2		xrltle 13204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	3	3adantl3 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		iocinioc2 33258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
6	4, 5	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)))
8	7	ancld 560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))))
9		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
12		xrlenlt 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
13	12	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
15		3ancoma 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
16		incom 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶))
17		iocinioc2 33258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
18	16, 17	eqtr3id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
19	15, 18	sylanbr 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
20	14, 19	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))
22	21	ancld 560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
23	8, 22	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))))
24	1, 23	mpi 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
25		eqif 4527	. 2 ⊢ (((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
26	24, 25	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ifcif 4485   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,]cioc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-ioc 13407

This theorem is used by:  pnfneige0  34469