Theorem iocinif 30626

Description: Relate intersection of two open-below, closed-above intervals with the same upper bound with a conditional construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Proof of Theorem iocinif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 892	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵)
2		xrltle 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	3	3adantl3 1165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		iocinioc2 30624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
6	4, 5	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
7	6	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)))
8	7	ancld 554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))))
9		simpl2 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
12		xrlenlt 10744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
13	12	biimpar 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
15		3ancoma 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
16		incom 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶))
17		iocinioc2 30624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
18	16, 17	syl5eqr 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
19	15, 18	sylanbr 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
20	14, 19	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
21	20	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))
22	21	ancld 554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
23	8, 22	orim12d 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))))
24	1, 23	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
25		eqif 4461	. 2 ⊢ (((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
26	24, 25	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3857  ifcif 4420   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝ^*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  (,]cioc 12780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-ioc 12784

This theorem is referenced by:  pnfneige0  31422