Proof of Theorem iocinif
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | exmid 895 |
. . 3
⊢ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) |
| 2 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)) |
| 3 | 2 | imp 406 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 4 | 3 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 5 | | iocinioc2 32781 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) |
| 6 | 4, 5 | syldan 591 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) |
| 7 | 6 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))) |
| 8 | 7 | ancld 550 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)))) |
| 9 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 10 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 11 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵) |
| 12 | | xrlenlt 11326 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)) |
| 13 | 12 | biimpar 477 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴) |
| 14 | 9, 10, 11, 13 | syl21anc 838 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴) |
| 15 | | 3ancoma 1098 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*)) |
| 16 | | incom 4209 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) |
| 17 | | iocinioc2 32781 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)) |
| 18 | 16, 17 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)) |
| 19 | 15, 18 | sylanbr 582 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)) |
| 20 | 14, 19 | syldan 591 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)) |
| 21 | 20 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))) |
| 22 | 21 | ancld 550 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))) |
| 23 | 8, 22 | orim12d 967 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))) |
| 24 | 1, 23 | mpi 20 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))) |
| 25 | | eqif 4567 |
. 2
⊢ (((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))) |
| 26 | 24, 25 | sylibr 234 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶))) |