Theorem xrdifh 32758

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 937	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2		pnfge 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
3	2	notnotd 144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4		biorf 936	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
6		orcom 870	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	5, 6	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
9		pnfxr 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 13286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
12	11	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
13		3ianor 1106	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14		3orass 1089	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
17	1, 7, 16	3bitr4rd 312	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
18		xrltnle 11176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	8, 18	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
20	17, 19	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
21	20	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
22		eldif 3912	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
24		mnfxr 11166	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25		elico1 13285	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
26	24, 8, 25	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
27		mnfle 13031	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
28	27	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
29	28	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
30	23, 26, 29	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
31	21, 22, 30	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
32	31	eqriv 2728	1 ⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  +∞cpnf 11140  -∞cmnf 11141  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  [,)cico 13244  [,]cicc 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-ico 13248  df-icc 13249

This theorem is referenced by: (None)