Theorem xrdifh 33418

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2		pnfge 13262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
3	2	notnotd 145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
6		orcom 884	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	5, 6	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
9		pnfxr 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
12	11	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
13		3ianor 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14		3orass 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
17	1, 7, 16	3bitr4rd 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
18		xrltnle 11379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	8, 18	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
20	17, 19	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
21	20	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
22		eldif 4049	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
24		mnfxr 11369	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25		elico1 13522	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
26	24, 8, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
27		mnfle 13267	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
28	27	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
29	28	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
30	23, 26, 29	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
31	21, 22, 30	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
32	31	eqriv 2757	1 ⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  +∞cpnf 11343  -∞cmnf 11344  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  [,)cico 13481  [,]cicc 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-ico 13485  df-icc 13486

This theorem is used by: (None)