Theorem xrdifh 33103

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 950	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2		pnfge 13156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
3	2	notnotd 145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4		biorf 949	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
6		orcom 883	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	5, 6	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
9		pnfxr 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
12	11	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
13		3ianor 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14		3orass 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
17	1, 7, 16	3bitr4rd 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
18		xrltnle 11277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	8, 18	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
20	17, 19	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
21	20	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
22		eldif 3916	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
24		mnfxr 11267	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25		elico1 13416	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
26	24, 8, 25	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
27		mnfle 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
28	27	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
29	28	pm5.32i 584	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
30	23, 26, 29	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
31	21, 22, 30	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
32	31	eqriv 2760	1 ⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,)cico 13375  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13379  df-icc 13380

This theorem is referenced by: (None)