Theorem xrdifh 33162

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2		pnfge 13173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
3	2	notnotd 145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
6		orcom 884	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	5, 6	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
9		pnfxr 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 13434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
12	11	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
13		3ianor 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14		3orass 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
17	1, 7, 16	3bitr4rd 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
18		xrltnle 11294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	8, 18	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
20	17, 19	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
21	20	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
22		eldif 3918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
24		mnfxr 11284	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25		elico1 13433	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
26	24, 8, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
27		mnfle 13178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
28	27	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
29	28	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
30	23, 26, 29	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
31	21, 22, 30	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
32	31	eqriv 2763	1 ⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  +∞cpnf 11258  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  [,)cico 13392  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ico 13396  df-icc 13397

This theorem is used by: (None)