Theorem xrdifh 33037

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 950	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2		pnfge 13146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
3	2	notnotd 145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4		biorf 949	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
6		orcom 883	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	5, 6	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
9		pnfxr 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 13407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
12	11	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
13		3ianor 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14		3orass 1104	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
17	1, 7, 16	3bitr4rd 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
18		xrltnle 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	8, 18	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
20	17, 19	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
21	20	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
22		eldif 3917	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
24		mnfxr 11254	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25		elico1 13406	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
26	24, 8, 25	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
27		mnfle 13151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
28	27	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
29	28	pm5.32i 584	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
30	23, 26, 29	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴))
31	21, 22, 30	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
32	31	eqriv 2762	1 ⊢ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  +∞cpnf 11228  -∞cmnf 11229  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,)cico 13365  [,]cicc 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ico 13369  df-icc 13370

This theorem is referenced by: (None)