Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrdifh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrdifh 32782
Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrdifh.1 𝐴 ∈ ℝ*
Assertion
Ref Expression
xrdifh (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biortn 938 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2 pnfge 13172 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
32notnotd 144 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4 biorf 937 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
6 orcom 871 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥))
75, 6bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8 xrdifh.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ*
9 pnfxr 11315 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
10 elicc1 13431 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞)))
118, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
1211notbii 320 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
13 3ianor 1107 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14 3orass 1090 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1512, 13, 143bitri 297 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
171, 7, 163bitr4rd 312 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴𝑥))
18 xrltnle 11328 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
198, 18mpan2 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
2017, 19bitr4d 282 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
2120pm5.32i 574 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
22 eldif 3961 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23 3anass 1095 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
24 mnfxr 11318 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
25 elico1 13430 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2624, 8, 25mp2an 692 . . . 4 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴))
27 mnfle 13177 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
2827biantrurd 532 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2928pm5.32i 574 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
3023, 26, 293bitr4i 303 . . 3 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
3121, 22, 303bitr4i 303 . 2 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
3231eqriv 2734 1 (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-icc 13394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator